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94 CHAPITRE 5. TESTS STATISTIQUES : PRINCIPES GÉNÉRAUX4 Test bilatéral4.1 Puissance d’un test bilatéralExemple 4.1.1. 2 Un acheteur souhaite acquérir un lot de dindes. Ces dindes doivent avoir un poids moyen de6.5kg et l’acheteur désire que le poids moyen ne soit ni trop faible ni trop élevé. Un vendeur est candidat pour cemarché qui doit porter sur 60 000 dindes. Afin de s’assurer que la spécification imposée est bien vérifiée, l’acheteurva prélever un échantillon simple et aléatoire de 64 animaux qu’il pèse. Des résultats antérieurs permettent depenser que le poids suit une loi normale et on admettra que l’écart-type est connu et est σ = 2 kg. Nous allons icidonner la règle de décision puis la fonction de puissance de ce test. Formalisons tout d’abord cette expérience. Lecaractère de départ est ici :X : P −→ R1 dinde ↦−→ son poids.A chaque lot de 64 animaux l’acheteur obtiendra 64 poids y 1 , y 2 , . . . y 64 . La taille des échantillons (n = 64) étantfaible par rapport à la taille de la population P (N = 60000), on peut approximer l’échantillonnage sans remisepar un échantillonnage avec remise. On peut donc définir le n-échantillons Bernoullien :Y = (Y 1 , . . . , Y 64 ) : P 64 −→ R 641 lot de 64 dindes ↦−→ (y 1 , y 2 , . . . y 64 )L’énoncé nous dit que nous avons les postulats suivants :– (Y i ) i.i.d.– Y i de loi N (µ, σ 2 ) avec σ 2 = 4Les hypothèses nulle et alternative sont :– H 0 : µ = 6.5 ;– H 1 : µ ≠ 6.5 (µ < 6.5 ou µ > 6.5).Il s’agit donc d’un test bilatéral.La statistique utilisée sera : M(Y ) = Ȳ = 1 ∑ 6464 i=1 Y i.Si l’hypothèse nulle est vraie alors Ȳ suit une loi normale N (6.5, 0.0625). Nous rejetterons l’hypothèse nullesi la valeur de la variable aléatoire Ȳ sur l’échantillon Ȳobs = M(y 1 , . . . , y n ) est très grande ou très petite. Nousaurons ici deux zones de rejet.Nous avons doncP H0 (m 1 ≤ Ȳ ≤ m 2) = 1 − α.Par suite si nous prenons le même risque à droite et à gauche nous aurons :P H0 (m 1 < Ȳ ) = 1 − α/2,P H0 (Ȳ < m 2) = 1 − α/2.Soit si nous prenons α = 0.05P H0⎛⎝ m 1 − 6.50.25< Ȳ √− µσ 2n⎞⎠ = 0.975(P H0 Ȳ < m )2 − 6.5= 0.9750.25D’où⎧⎪⎨⎪⎩m 1 − 6.5= −1.960.25m 2 − 6.5= 1.960.25⇒{m1 = 6.01m 2 = 6.99La règle de décision est donc :– Si Ȳobs = M(y 1 , . . . , y 64 ) ∈ [6.01; 6.99] alors on accepte l’hypothèse nulle d’égalité de la moyenne à 6.5 kg aurisque α de 5%2 Données provenant du cours de biométrie de l’INAPG de R. Tomassone, juillet 1986, chapitre 5 page 34.