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4. VARIABLES ALÉATOIRES 49Ici les variables aléatoires X et Y sont les applications composantes.Exemple 4.5.13. (Loi normale réduite à 2 dimensions) La fonction de densité est ici :f(x, y) = 1“ x2 +y22π e− 2Définition 4.5.14 (Loi marginale). Soit X et Y un couple de variables aléatoires réelles continues de fonction dedensité f. On appelle loi de probabilité marginale de X (respectivement Y ) l’application :respectivementf X : R −→ Rx ↦−→ f X (x) =f Y : R −→ Ry ↦−→ f Y (y) =∫ +∞y=−∞∫ +∞x=−∞”f(x, y)dyf(x, y)dxRemarque 4.5.15. (i) La loi marginale de X (respectivement de Y ) est en fait la loi de la variable aléatoire X(respectivement Y )(ii) La fonction de répartition de X (respectivement de Y ) est alors :F X (x) =∫ x−∞(respectivement F Y (y) =f X (u)du =∫ y−∞∫ x∫ +∞u=−∞ v=−∞∫ +∞ ∫ yf Y (v)dv =u=−∞f(u, v)dudvv=−∞f(u, v)dudv )Remarque 4.5.16. (i) La généralisation au cas de n variables aléatoires (Y 1 , . . . , Y n ) est immédiate. Lorsquel’on traite des variables discrètes, on a :p(y 1 , y 2 , . . . , y n ) = P (Y 1 = y 1 et Y 2 = y 2 . . . et Y n = y n )Lorsque l’on traite des variables aléatoires réelles continues, on a :∫ ∫ ∫P (A) = · · · f(y 1 , y 2 , . . . , y n )dy 1 dy 2 . . . dy nA(ii) Rien ne nous empêche de définir aussi des lois jointes de deux variables aléatoires réelles X et Y lorsque Xest discrète et Y continue. Mais, comme nous ne les utiliserons pas ici, nous ne les étudierons pas.4.6 Variables aléatoires indépendantesNous considérons dans cette section deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace Ω.Définition 4.6.1 (Indépendance de 2 v.a.r.). Deux variables aléatoires réelles X et Y sont dites indépendantes siet seulement si pour tout événement A ⊂ R et B ⊂ R, on a :P (X ∈ A et Y ∈ B) = P (X ∈ A) × P (Y ∈ B)Remarque 4.6.2. La définition précédente est équivalente à dire que les événements X −1 (A) et Y −1 (B) sontindépendants pour tout ensemble A et B.Théorème 4.6.3. Soient X et Y 2 variables aléatoires discrètes. X et Y sont indépendantes si et seulement si :p(x, y) = p X (x) × p Y (y) ∀(x, y) ∈ R 2Théorème 4.6.4. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles continues. X et Y sont indépendantes si etseulement sif(x, y) = f X (x) × f Y (y) ∀(x, y) ∈ R 2DémonstrationDémonstration admise. ✷Remarque 4.6.5. (i) Pour pouvoir parler d’indépendance ou de dépendance de 2 ou plus variables aléatoires ilfaut que celles-ci soient définies sur le même espace fondamental.(ii) La signification concrète de l’indépendance de 2 variables aléatoires est que la connaissance de la valeurd’une des variables aléatoires sur un individu n’apporte aucune information sur la valeur de l’autre variablealéatoire.