cours et TD - Enseeiht

5. PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉ 77Nom et notation de la v.a. Définition ou mécanismede constructionLoi du Khi-2 à ν degrés de Une variable aléatoireliberté : χνréelle suit une loi de Khi-2à ν degrés de liberté si elleest la somme de ν carrés devariables aléatoires réellesde loi normale réduite (i.e.N (0, 1)) indépendantes.Loi de Student à ν degrésde liberté : tνLoi de Fisher à (ν1, ν2)degrés de liberté : Fν1,ν2Soient Y une variablealéatoire de loi normaleréduite et Z une variablealéatoire de loi du Khi-2à ν degrés de libertéindépendantes. Alors lavariables X = √ Y Z/νsuitune loi de Student à νdegrés de liberté.Soient X1 et X2 deux variablesréelles de loi duKhi-2 à respectivement ν1et ν2 degrés de libertéindépendantes. Alors X =(X1/ν1)(X2/ν2) suit une loi deFisher à ν1 degrés de libertéau numérateur età ν2 degré de liberté audénominateur.Exemples de v.a. suivant laloi1) Variance empiriqued’un échantillon detaille ν + 1 dont on neconnaît pas la moyenne.2) Mesure de l’écartentre des lois théorique etempiriqueMesure normalisée del’écart de deux moyennesempiriques calculéessur deux échantillonsindépendants d’une populationnormale.Rapport de deux variancesempiriques construitessur deux échantillonsindépendants extraitsd’une population normale.Définition analytique de laloiValeur des paramètres dela distributionνf(x) = cx 2 − 1 e − x 20 < x < +∞E(X) = νV ar(X) = 2νf(x) =E(X) = 0c(1 + x2ν )(ν+1)/2 V ar(X) = νν − 2si ν > 2f(x) = xν12 − 1(ν1x + ν2) − (ν 1 + ν2)2E(X) = ν 2ν2 − 2si ν2 > 2V ar(X) =2ν 2 2 (ν 1 + ν2 − 2)ν1(ν2 − 2) 2 (ν2 − 4)Représentation graphiqueν = 40.2f(x)0.150.10.050 2 4 6 8 10 12 14 16ν = 40.4f(x)0.350.30.250.20.150.10.05−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5ν1 = 4 et ν2 = 60.7f(x)0.60.50.40.30.20.10 1 2 3 4 5000xxx