cours et TD - Enseeiht

6. EXERCICES 101observation du n-échantillon Bernoullien Y = (Y 1 , . . . , Y n ) de la variable aléatoire X. On Définit alors la variablealéatoire suivante :Z : Ω n −→ {0, 1, . . . , n}ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ↦−→ nombre de bonnes réponses(i) On considère les hypothèses nulle et alternative suivantes :– H 0 : le juge répond totalement au hasard ;– H 1 : le juge ne répond pas totalement au hasard.Écrire les hypothèses nulle et alternative du test à l’aide du paramètre p.(ii) écrire Z = S(Y ) (on donnera S), et en déduire la loi de Z.(iii) On prend n = 25 et α = 0.05 et on donne pour p = 1/3et pour p = 2/3k 10 11 12 13 14 15 16 17 . . .Cnp k k q n−k 0.126 0.086 0.050 0.025 0.011 0.004 0.001 0.000 . . .(a) Calculer la valeur critique du test.k 13 14 15 16 17 18 19Cnp k k q n−k 0.05 0.086 0.126 0.158 0.167 0.149 0.110k 20 21 22 23 24 25Cnp k k q n−k 0.066 0.031 0.011 0.003 0.000 0.000(b) Calculer le risque de deuxième espèce et la puissance pour p = 2/3.(c) Visualiser le risque de deuxième espèce et la puissance pour p = 2/3.(d) Calculer le risque de deuxième espèce et la puissance pour p = 1/3.(e) Donner la forme de la fonction puissance en fonction de p.correction.(i) Si le juge choisi au hasard p est égal à 1/3. Si le juge ne répond pas au hasard c’est que p > 1/3 (si p < 1/3,c’est que le juge répond de façon pire que s’il répondait totalement au hasard !). Le test est donc un testunilatéral à droite. Par suite les hypothèses nulle et alternative sont– H 0 : p = 1/3 ;– H 1 : p > 1/3.(ii) S estS : R n −→ R(y 1 , . . . , y n ) ↦−→ S(y) =Donc Z = S(Y ) = ∑ i Y i. Par suite Z suit une loi binômiale de paramètre (n, p).(iii) Attention, il faut ici lorsqu’on définit les événemants accepter H 0 et accepter H 1 , bien préciser si onprend des inégalités large ou strict car la loi de la variable aléatoire de décision est discrète.On aα = P H0 (rejeter H 0 )= P H0 (Z ≥ Z crit )n∑i=1= P H0 (Z = Z crit ) + P H0 (Z = Z crit + 1) + · · · + P (Z = n)n∑=k=Z critC k np k q n−ky iLa table ci-après donne pour différentes valeurs de Z crit les valeurs de α obtenus.(a)Z crit 12 13 14 15 16 17 . . .α 0.091 0.041 0.016 0.005 0.001 0.000 . . .On en déduit que pour avoir α le plus proche de 0.05 tout en étant inférieur il faut prendre Z crit = 13.