cours et TD - Enseeiht

3. PRINCIPES GÉNÉRAUX 93(ii) Description du test :(a) postulats ;(b) statistique utilisée (variable de décision).(iii) Mode opératoire.3.2 DéfinitionsDéfinition 3.2.1 (Risques de première et de deuxième espèce, puissance). On appelle risque de première espèceet on note α la probabilité de l’événement rejeter l’hypothèse nulle quand elle est vraie :α = Probabilité de l’événement rejeter H 0 quand H 0 est vraie= P H0 (rejeter H 0 )On appelle risque de deuxième espèce et on note β la probabilité de l’événement accepter l’hypothèse nullequand elle est fausse :β = Probabilité de l’événement accepter H 0 quand H 0 est fausse= P H1 (accepter H 0 )On appelle puissance la probabilité de l’événement accepter l’hypothèse alternative quand elle est vraie :1 − β = Probabilité de lévénement accepter H 1 quand H 1 est vraie= P H1 (accepter H 1 )On peut résumer ces définitions par le tableau suivant :Décision : réalité H 0 H 1H 0 1 − α βH 1 α 1 − βRemarque 3.2.2. (i) Le risque de première espèce est aussi la probabilité de conclure à une différence quin’existe pas en réalité.(ii) Le risque de deuxième espèce est aussi la probabilité de ne pas déceler une différence qui existe.(iii) La puissance du test est la probabilité de déceler une différence qui existe. C’est un critère de précision, dequalité d’un test.Définition 3.2.3 (Test unilatéral, test bilatéral). Un test est dit unilatéral si sa zone de rejet, c’est-à-direlévénement accepter H 1 , est continue. Il est dit bilatéral si elle est en deux morceaux.Exemple 3.2.4. Dans l’exemple introductif il n’y avait qu’une seule zone de rejet et l’hypothèse alternative étaitH 1 : µ > 1400. Nous avions donc un test unilatéral. Si on désirait comparer 2 procédés de fabrication pour savoirlequel des 2 était le meilleur nous aurions écrit l’hypothèse alternative de la façon suivante : H 1 : µ < 1400 ouµ > 1400. Nous aurions alors eu 2 zones de rejet. Le test aurait été bilatéral.Définition 3.2.5 (test non paramétrique). On appelle test non paramétrique tout test où dans les postulats iln’est pas fait mention de lois. Le test est dit paramétrique dans le cas contraire.Remarque 3.2.6. Dans un test paramétrique les hypothèses nulles et alternative s’expriment par des relations surdes valeurs de paramètres, d’où la terminologie. En anglais on parle de ”distribution free test” ce qui est à notreavis plus clair.Exemple 3.2.7. Dans l’exemple introductif le test est un test paramétrique.Exemple 3.2.8. Si on désire tester l’hypothèse nulle H 0 : le caractère suit une loi de poisson ; le test sera un testnon paramétrique.Définition 3.2.9 (Robustesse). Un test est dit robuste s’il est ”peu” sensibles à la loi de distribution du caractèreétudié.Remarque 3.2.10. Nous aurons parfois le choix entre plusieurs tests pour une question donnée. Nous choisironsen pratique parmi ceux qui vérifient les postulats celui qui aura la puissance la plus forte.