cours et TD - Enseeiht

70 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE4.2 Distribution d’échantillonnage de la varianceOn considère dans cette sous section la statistique que nous appellerons variance déchantillon et que nousnoterons S 2 S 2 : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y n ) ↦−→ S 2 (y) = 1 noù ȳ est la moyenne arithmétique des y 1 , . . . , y n . On peut alors voir quen∑(y i − ȳ) 2 ,i=1S 2 (Y (ω)) = 1 ∑(Y i (ω) −nȲ (ω))2 = 1 ∑(X(ω i ) −nȲ (ω))2 . (4.11)iThéorème 4.2.1. Supposons que X admette des moments centrés jusqu’à l’ordre 4 finis. Alors :(i) Si l’échantillon est Bernoullien :E(S 2 ) = n − 1n σ2 ,V ar(S 2 ) = µ 4 − σ 4− 2(µ 4 − 2σ 4 )n n 2 + µ 4 − 3σ 4n 3 ,Cov(M, S 2 ) = Cov(Ȳ , S2 (Y )) = n − 1n 2 µ 3 .(ii) Si l’échantillon est sans remise et que la taille de la population est N alors :E(S 2 ) =N n − 1N − 1 n σ2 .(iii) Si X suit une loi normale N (µ, σ 2 ) et si l’échantillon est Bernoullien alors :Ȳ et S 2 (Y ) sont indépendantes.V ar(S 2 2(n − 1)) =n 2 σ 4et nS 2 /σ 2 suit une loi du χ 2 à n − 1 degrés de liberté.Démonstration(i)On admettra le resultat pour V ar(S 2 ).Quant à la covariance il suffit d’écrire :E(S 2 (Y )) = E ` P 1 nn i=1 (YiP− µ + µ − Ȳ )2´1= nn i=1 E((Yi − µ)2 ) + 1 P nn i=1 E((Ȳ − µ)2 )2 − n E(P ni=1 (Yi − µ)(Ȳ − µ))= σ 2 σ + 2n2 − n E((Ȳ − µ)(nȲ − nµ))n−1=nσ2Cov(Ȳ , S2 (Y )) = E((Ȳ − µ)(S2 − n − 1n σ2 ))= E((Ȳ − µ)S2 ) − n − 1n σ2 E(Ȳ − µ)!= E((Ȳ − µ) 1nX(Y i − µ) 2 − (Ȳ n− µ)2 i=11=n E( X n nX(Y 2 i − µ) (Y i − µ) 2 ) − 1 n (E( X n (Y 3 i − µ)) 3 )i=1i=1i=1= µ3n − µ3n = n − 12 n µ3, 2car les Y i sont indépendants et donc Cov(Y i, Y j) = 0 si i ≠ j.(ii) admise.(iii) On déduit de (i) que si X est normale alors Cov(Ȳ , S2 (Y )) = 0 car le moment centré d’ordre 3 d’une loi normale est nul. Mais ceci nemontre pas que les variables aléatoires Ȳ et S2 (Y ) soient indépendantes. Nous admettrons ici ce résultat.Pour démontrer la suite il suffit d’écrire :nS 2 (Y ) 1=σ 2 σ ( X n (Y 2 i − µ) 2 − n(Ȳ − µ)2 )i=1= P „ « !n Yi − µ 2 2Ȳ − µi=1−σσ√ n= S 1 − S 2i