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8 CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE0.350.30.25Fréquences relatives0.20.150.10.0500 2 4 6 8 10NotesFig. 2.1 – Diagramme en bâtons0.160.140.120.10.080.060.040.02← Aire=0.01771×10=0.17710Surfaces en haFig. 2.2 – HistogrammeDéfinition 3.2.14 (Histogramme). On appelle histogramme un diagramme du type précédent.Remarque 3.2.15. (i) Lorsque nous étudions une variable continue nous avons dans la pratique un grandnombre de mesures, certaines étant très proches les unes des autres, d’autres étant plus éloignées. Si nousreprésentions ces données sous la forme d’un diagramme en bâtons nous aurions un graphique du type suivant :21.81.61.4Fréquences absolues1.210.80.60.40.200 1 2 3 4 5 6 7 8Valeurs de la variableFig. 2.3 – ”Densité”La densité d’une zone indiquerait alors que beaucoup de données seraient dans cette zone. Mais un tel graphiquen’est pas très lisible et une idée est donc de représenter cette densité en ordonnées. Celle-ci est obtenueen divisant le nombre de mesures obtenues dans une classe (i.e. la fréquence absolue) par la longueur d’intervallede classe. C’est bien ceci que nous représentons dans un histogramme.(ii) Les fréquences relatives sont en fait dans la pratique des estimations de probabilités. On verra que dans le cascontinu la probabilité qu’une variable aléatoire X appartienne à un intervalle ]x i , x i+1 [ est donnée par l’aireA délimitée par cet intervalle et la fonction de densité :
3. STATISTIQUE DESCRIPTIVE À UNE DIMENSION 90.40.350.30.25f(x)0.20.15← A0.10.050−1 0 1 2 3 4 5x ix i+1 xFig. 2.4 – Fonction de densitéL’histogramme des fréquences relatives n’est alors qu’une approximation empirique de cette fonction de densité(si le facteur de proportionnalité est 1).(iii) Si l’on veut mettre sur un même graphique une loi théorique de distribution de probabilités, il faut impérativementtravailler avec les fréquences relatives, et un facteur de proportionnalité de 1 pour l’histogramme.Remarque 3.2.16. Attention, dans un logiciel comme Excel , le terme histogramme n’a pas le sens ci-dessus.Remarque 3.2.17. La détermination du nombre de classes d’un histogramme ainsi que de leurs amplitudes estdifficile. De plus, représenter une distribution d’une variable continue par une fonction en escalier n’est pas trèslogique. La théorie de l’estimation de densité permet de résoudre ces difficultés. Nous allons ici donner quelqueséléments de la méthode du noyau.Considérons tout d’abord le cas d’histogrammes à classes d’égales amplitudes h. Dans l’histogramme on estimela densité en x par ninhsi x appartient à la classe i. La densité est donc constante sur chaque classe. On peutaméliorer ceci en utilisant la méthode de la ”fenêtre mobile”. On suppose ici que la série statistique est y 1 , . . . , y n .On construit autour de x une classe de longueur h : I x = [x − h/2; x + h/2[ et on compte le nombre d’observationsn x qui appartiennent à cette classe. On estime alors la densité en x par nxnh. On peut ainsi construire point parpoint cette fonction de densité estimée ˆf(x). On peut en fait écrire cette dernière de la façon suivante :ˆf(x) = 1 n∑( ) x − yiKnh hi=1où K est la fonction indicatrice de l’intervalle [−1/2; 1/2[, c’est-à-dire la fonction de R dans {0, 1} définie par :{ K(u) = 0 si u ∉ [−1/2; 1/2[Par suiteK(u) = 1 si u ∈ [−1/2; 1/2[( ) x − yiK = 1 ⇐⇒ y i ∈ I xhCette méthode donne encore des résultats trop peu régulier. Pour obtenir une fonction suffisamment ”lisse”, il fautprendre des fonction noyau K plus régulière. En pratique on prend souvent un noyau gaussien :ou parabolique :K(u) = 34 √ 5K(u) = 1 √2πe −u2 /2) (1 − u25pour |u| < 5L’exemple (3.2.18) donne une comparaison entre l’histogramme et l’estimation de densité.Exemple 3.2.18. 1 Le tableau (2.1) donne les hauteurs de 50 pièces usinées. On a sur la figure (2.5) l’histogrammede ces données pour un intervalle de classe de 0.03 et l’estimation de densité par la méthode du noyau avec le noyaude Lejeune :K(u) = 10564 (1 − u2 ) 2 (1 − 3u 2 ) pour |u| ≤ 1avec une constante h égale à 30% de l’étendue de l’échantillon. L’estimation de densité montre clairement unedistribution bimodale que nous ne voyons pas avec l’histogramme.1 exemple provenant du livre de G. Saporta page 121
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Bibliographie[1] Gildas Brossier an
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