cours et TD - Enseeiht

4.COMPLÉMENTS 121Nous avons ainsi défini deux fonctions h 1 et h 2. Nous avons aussiP (h 1(θ ′ ) < T < h 2(θ ′ )) = 1 − αSi maintenant nous calculons à partir d’un n-échantillon l’estimation ponctuelle ˆθ = T (y 1, . . . , y n) nous avons la relation suivante :Par conséquent nous avons bien :ˆθ ∈ [h 1(θ ′ ), h 2(θ ′ )] ⇐⇒ θ ′ ∈ [ˆθ 1; ˆθ 2] = [h −12 (ˆθ); h −11 (ˆθ)]P (θ ∈ [ˆθ 1; ˆθ 2]) = 1 − αNous retrouvons ici la vraie signification de l’intervalle de confiance : la probabilité que l’intervalle [ˆθ 1; ˆθ 2] recouvre la vraie valeur duparamètre θ est 1 − α. C’est l’intervalle qui varie, non le paramètre θ.La figure (6.7) visualise ceciestimationsparamètresFig. 6.7 – Intervalle de confiance4.3 Estimation robustenous avons vu que pour avoir un ”bon” estimateur : estimateur sans biais, convergent et si possible efficace, nous avions souvent besoindu postulat de normalité. Or ceci n’est pas toujours le cas en pratique. On peut donc aussi rechercher des estimateurs peu sensibles à la loi deprobabilité. Un estimateur ayant cette propriété sera appelé un estimateur robuste. Par exemple, pour une loi symétrique, la médiane est unestimateur plus robuste de E(X) que la moyenne arithmétique.Il existe un deuxième type de robustesse. Elle concerne l’insensibilité à des valeurs ”aberrantes”. La encore la médiane sera plus robusteque la moyenne arithmétique. Les qualités de robustesse et d’efficacité sont très souvent en opposition : on ne peut pas gagner sur tous lestableaux. En pratique, pour estimer une moyenne, on essaiera, à l’aide des graphiques des boîtes à moustache par exemple, de détecter lesvaleurs ”aberrantes”, puis on calculera l’estimation de E(X) par la moyenne arithmétique sur les données restantes.L’étude de la robustesse est hors de propos ici, mais il s’agit d’une propriété en pratique importante.4.4 Représentation graphiqueLa figure (6.8) montre comment nous pouvons visualiser l’intervalle de confiance de la moyenne pour l’exemple(3.2.3). Attention, certains auteurs visualisent l’intervalle [ȳ − es; ȳ + es] où es = √ ˆσnest l’erreur standard ! ! !175données175Box plot170170165165160160155Values1551501501451451401400 0.5 1 1.5 21Column NumberFig. 6.8 – Intervalle de confiance longueur de la rectrice centraleLa figure (6.10) montre quant-à elle les différents intervalles de confiance de la moyenne à 95% pour les donnéesdes longueurs d’ailes de mésanges noires selon leur âge et sexe.Remarque 4.4.1. Nous pouvons voir sur les graphiques des boîtes à moustaches qu’il y a peut-être des donnéesaberrantes. Les intervalles de confiances ont ici été calculés sur toutes les données car nous n’avions aucune informationnous permettant d’exclure une de ces données.