cours et TD - Enseeiht

48 CHAPITRE 3. PROBABILITÉSU : V 1 2 3 4 5 6 p V112360 0 0 0 036223 0360 0 0 0361 234 036 360 0 0362 245 0 036 360 0361 2 256 0 036 36 360362 2 2 67 0 0 036 36 36 361 2 2 58 0 0 036 36 36 362 2 49 0 0 0 036 36 361 2 310 0 0 0 036 36 362 211 0 0 0 0 036 36112 0 0 0 0 0p U136336536736936136 3611361Nous allons maintenant étudier le cas des variables aléatoires réelles continues.Définition 4.5.9 (Fonction de densité d’un couple de v.a. continues).On dit que le couple de variables aléatoires réelles continues a une densité de probabilité f, application de R 2 dansR positive et intégrable si et seulement si on peut écrire :∫ ∫P (A) = P ((X, Y ) ∈ A) = f(x, y)dxdy ∀A ∈ Eoù E est la tribu de R 2 qui contient les rectangles [a, b] × [c, d]Remarque 4.5.10. Si A est un rectangle [a, b] × [c, d] alors on démontre queP (A) =∫ b ∫ da(cAf(x, y)dy)dxIllustration 4.5.11. Graphiquement z = f(x, y) représente dans R 3 une surface et le volume totale délimité parcette surface et le plan (O, x, y) est égale à 1 car∫ ∫P (Ω) = P (R 2 ) = f(x, y)dxdy = 1R 2Si A = [a, b] × [c, d] alors P (A) est le volume ombré ci-dessous :Fig. 3.2 – Densité d’un couple de variables aléatoires réellesExemple 4.5.12. (Densité uniforme sur un disque C) Soit C le disque de centre O et de rayon a > 0, C ={(x, y) ∈ R 2 tel que x 2 + y 2 ≤ a} {f(x, y) =1πasi (x, y) ∈ C2f(x, y) = 0 sinon