cours et TD - Enseeiht

50 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS5 Espérance mathématique5.1 DéfinitionsL’espérance mathématique d’une variable aléatoire est l’un des concepts les plus important en théorie desprobabilités.Définition 5.1.1 (Espérance mathématique d’une v.a.r.d.). Soit X une variable aléatoire réelle discrète de loi P .On appelle espérance mathématique la grandeur, si elle existe, suivante.E(X) = ∑ xxP (X = x)Exemple 5.1.2. Soit X de loi de Bernoulli de paramètre p ; c’est-à-dire :P (X = 0) = 1 − p = q et P (X = 1) = palorsE(X) = 0 × q + 1 × p = pDéfinition 5.1.3 (Espérance mathématique d’une v.a.r. continue). Soit X une variable aléatoire réelle continuede fonction de densité f. On appelle espérance mathématique de X la quantité si elle existe :E(X) =Exemple 5.1.4. Soit X de loi uniforme sur [a, b] alorsE(X) =∫ +∞−∞∫ +∞−∞xf(x)dxx 1b − a dx = 12(b − a) (b2 − a 2 ) = a + b2Théorème 5.1.5. Soit X une variable aléatoire réelle et g une application de R dans R. Soit Y = g(X), alorsl’espérance mathématique de Y est si elle existe :(i) Si X est discrète :E(Y ) = E(g(X)) = ∑ xg(x)P (X = x)(ii) Si X est continue de loi fE(Y ) = E(g(X)) =∫ +∞−∞g(x)f(x)dxRemarque 5.1.6. On devrait en fait écrire Y = g ◦ X au lieu de Y = g(X). En effet il s’agit bien ici de lacomposition de fonction :XY : Ω −→ R −→ Rω ↦−→ X(ω) ↦−→ g ◦ (X(ω))Théorème 5.1.7. Soit a et b deux constantes réelles et X une variable aléatoire réelle d’espérance mathématiqueE(X), alors nous avonsE(aX + b) = aE(X) + bDémonstrationIl suffit de poser Y = aX + b et d’appliquer le théorème précédent. Le résultat s’obtient alors immédiatement enutilisant la propriété de linéarité de la somme ou de l’intégrale. ✷Définition 5.1.8 (Moments par rapport à l’origine). Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle n-ièmemoment de X par rapport à l’origine la quantité si elle existe E(X n )(i) Si X est discrèteE(X n ) = ∑ xgx n P (X = x)(ii) Si X est continue de densité fE(X n ) =∫ +∞−∞x n f(x)dx