cours et TD - Enseeiht

36 CHAPITRE 3. PROBABILITÉSdes phénomènes où les résultats ne peuvent être connus avec certitude et c’est cette théorie que nous allons étudiermaintenant.2 Définition des probabilités2.1 ExemplesExemple 2.1.1 (Cas fini). On considère un caractère dû à un gène ayant deux allèles C et c. On sait que dansun croisement chacun des deux parents donne un des deux gènes ; si les parents sont tous les deux hétérozygotes,c’est-à-dire ont tous les deux le génotype Cc, les génotypes des descendants sont de l’un des quatre types suivants(le premier gène indiqué est celui de la mère) :CC, Cc, cC, cc. Nous avons ainsi les quatre événements élémentairesde l’épreuve. Si ces événements sont équiprobables, la probabilité de chacun d’entre eux est p = 1/4. Supposonsmaintenant que ce qui nous intéresse est le phénotype des individus et que l’allèle C soit dominant. L’ensemblefondamental devient alors Ω = {[C], [c]} où [C] (respectivement [c]) représente le phénotype C (respectivement c)et correspond aux génotypes CC, Cc, cC (respectivement cc). Si les génotypes sont tous équiprobables alors nousavons P ([C]) = 3/4 et P ([c]) = 1/4.Exemple 2.1.2 (Cas infini dénombrable). On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et ànoter le nombre de coups nécessaires pour obtenir 6 pour la première fois. On a donc Ω = {1, 2, 3, 4, . . .} = N ∗ . Laprobabilité de l’événement élémentaire n est :( ) n−1 5 1p n =6 6+∞∑n=1p n =+∞∑n=1( 56) n−116 = 1 6+∞∑n=0( 56) n= 1 6 . 11 − 5 6= 1Exemple 2.1.3 (Cas infini non dénombrable). Un voyageur arrive à la date t = 0 à une station de bus. On saitqu’un bus passe toutes les 5 minutes. Le voyageur étant seul ne peut savoir quand est passé le dernier bus. Quelleprobabilité peut-on définir ?Le voyageur sait qu’il attendra au maximum 5 minutes. Donc ici Ω = [0, 5]. Mais il n’a aucune raison deprivilégier des instants par rapport à d’autres. Aussi il est logique de prendre comme probabilité d’un intervalle[a, b] = A ⊂ Ω le rapport des longueurs des intervalles A et Ω :P (A) = b − a5 − 0Plus l’intervalle sera grand plus il aura de “chance” de voir le bus passer. L’ensemble des événements E contiendradonc tout les intervalles du type [a, b] mais aussi :– [0, a[= C Ω [a, 5]– ]b, 5] = C Ω [0, b]– [a, b[= ∪ n∈N[a, b − (1/n)]– ]a, b] = ∪ n∈N[a + (1/n), b]– ]a, b[=]a, (a + b)/2] ∪ [(a + b)/2, b[– ∪ n∈N (a n, b n ) où (a n , b n ) est un intervalle ouvert, fermé ou semi-ouvert– ∩ n∈N (a n, b n ) = C Ω {∪ n∈N C Ω(a n , b n )}– {a} = ∩ n∈N[a − (a/n), a + (1/n)]– etc ...E est un ensemble très vaste mais on démontre qu’il est différent de P(Ω). Ayant défini P ([a, b]) par (b − a)/5 =∫ b(1/5)dx on démontre alors que l’on peut construire une probabilité P sur E et que l’on a :a∫P (A) = (1/5)dxLa loi de probabilité est alors parfaitement définie par la fonctionf(x) = 1/5 si x ∈ [0, 5].Soit A = [a, b[∪]c, d[ alors, avec a < b < c < dP (A) = ∫ A f(x)dx = ∫ ba f(x)dx + ∫ df(x)dx = A = aire achurée.cA