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Chapitre 4Théorie de l’échantillonnage1 Modélisation des variables1.1 IntroductionL’objet de cette section est la modélisation des données. Il faut ici entendre le terme modélisation dans le sensde la modélisation mathématique ou de la formalisation mathématique 1 . On s’intéresse donc à l’art de représenterà l’aide d’objets mathématiques des situations concrètes. Nous n’aborderons ici la modélisation mathématique quedans le cadre très restreint de l’estimation et de la théorie des tests statistiques 2 . Le premier point à aborderconcerne donc le passage de la question de départ à son écriture mathématique ; par exemple comment écrivonsnous le problème de l’estimation d’un taux de germination et par quel objet mathématique représentons nous cetaux de germination.1.2 Variable aléatoireExemple 1.2.1. Taux le germinationConsidérons l’exemple d’un taux de germination. Soit donc T une variété fixée de tournesol. Le taux de germinationest le pourcentage de graines qui germent quand on met à germer les graines de cette variété T . Il nous faut pourdéfinir rigoureusement ce taux de germination bien définir la population G sur laquelle nous travaillons. En effetles conditions dans lesquelles on met à germer les graines comme la température, l’éclairage, ... peuvent influencerce taux de germination. Définir G, c’est donc non seulement définir rigoureusement la variété, mais aussi lesconditions expérimentales. Cette population est a priori infinie car on peut considérer les graines qui existentaujourd’hui, mais aussi celle à venir dans un an, dans 2 ans, ... Une fois la population G définie, on peut écrire lafonction de G à valeurs dans {0, 1} suivante :X : G −→ {0, 1}g ↦−→ 0 si g ne germe pasg ↦−→ 1 si g germe.Cette fonction est une variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètre p = P (X = 1) = E(X) où p exprimé enpourcentage n’est autre que le taux de germination. On peut donc définir le taux de germination, exprimé commeun nombre dans l’intervalle [0, 1], comme étant l’espérance mathématique, c’est-à-dire la valeur moyenne, de lavariable aléatoire X. Estimer un taux de germination, c’est donc trouver une ”valeur approchée” du paramètre pde la loi de Bernoulli de la variable aléatoire X.Exemple 1.2.2. Le 29 mai 2005 les électeurs français seront appelés à se prononcer pour ou contre le projet detraité établissant une constitution pour l’Europe 3 . Si notre objectif est de savoir si la constitution sera acceptée ounon, il faut considérer comme population l’ensemble des bulletins exprimés, c’est-à-dire l’ensemble des bulletins oui1 Le terme de modélisation mathématique est, à notre grand regret, souvent galvaudé. Il signifie souvent l’utilisation de modèlesdéjà établis. Mais l’art de la modélisation, c’est-à-dire l’art de construire des modèles mathématiques, est difficile. Newton a dû, pourtrouver la loi de la gravitation universelle, construire la notion de dérivée !2 La modélisation mathématique intervient aujourd’hui dans tous les domaines scientifiques : l’environnement, la science du climat, labiologie, l’économie, ... Elle utilise des notions mathématiques très variées et parfois très complexes : équations différentielles ordinaireset stochastiques, équations aux dérivées partielles, chaînes de Markov, ... La modélisation étudiée ici est donc un cas très particulier.3 Nous avons fini de rédiger ce chapitre une semaine avant le référendum59