cours et TD - Enseeiht

110 CHAPITRE 6. ESTIMATIONNous pouvons supposer que cette variable aléatoire suit une loi de Poisson :P (X = k) = λ k! e−λQuestion : Comment à partir des résultats obtenir une estimation de ce paramètre λ ?Nous pouvons penser à différentes solutions :(i) Nous avons P (X = 0) = e −λ , nous pouvons donc penser à la formule :e −ˆλ nombre de jours où il y a eu 0 captures=nombre total de jours( ) 56ˆλ = − ln = 0.46389(ii) Nous avons aussi E(X) = λ et nous pouvons donc penser à la formule :ˆλ = ȳ = 22 + 2 × 9 + 3 + 589= 0.551= 5689(iii) Mais nous avons encore V ar(X) = λ et nous pouvons donc penser à une troisième formule :ˆλ = s 2 = 1 nn∑(y i − ȳ) 21Exemple 1.1.2. 2 Imaginons une population dans laquelle nous savons que tous les éléments ont été numérotés de 1à N, par exemple lors d’un concours, mais nous ne connaissons pas cette valeur. Nous extrayons de cette populationun échantillon de taille 5 et nous relevons les 5 numéros : y 1 = 203; y 2 = 504; y 3 = 366; y 4 = 326; y 5 = 77. Laquestion est comment estimer la valeur de N à partir de ces 5 données. Là encore nous pouvons penser à plusieursformules :(i) max i=1,...,5 (y i ) ;(ii) max i=1,...,5 (y i ) + min i=1,...,5 (y i ) − 1 ;(iii) 2 × ỹ i (2 fois la médiane des données).1.2 Position du problèmeLes deux exemples ci-dessus posent le problème de savoir quelle est la ”meilleure” formule pour uneestimation. Il faut pour cela avoir un/des critères pour pouvoir choisir. Nous allons dans la section qui suit donner ladéfinition d’un problème d’estimation et définir les bonnes propriétés que doit avoir un estimateur. Nous donneronsensuite les estimateurs pour les paramètres les plus courants.2 Principes généraux2.1 Formalisme mathématique, définitionsConsidérons le problème de l’estimation d’un taux de germination d’une variété fixée dans des conditionsexpérimentales bien définies. Appelons P la population des graines supposée de taille infinie. Estimer le taux degermination c’est estimer le paramètre p de la loi de Bernoulli de la variable aléatoireX : P −→ {0, 1}une graine ↦−→ 1 si la graine germe et 0 sinonPour cela on réalise l’expérience qui consiste à prendre n graines et à les mettre à germer. On estimera alors leparamètre p par la fréquence de graines qui auront germé dans l’échantillon. Si nous ”répétons cette expérienceune infinité de fois”, nous définissons ainsi la variable aléatoire suivante :Ȳ : P n −→ Run échantillon de n graines ↦−→le nombre de graines qui germent dans l’échantillonn2 Exemple provenant de Tommassone [7] page 10