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5.ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE 53Théorème 5.3.13. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles admettant des espérances mathématiques.La covariance de X et de Y existe si et seulement si E(XY ) existe et on a la relation suivante :Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )Corollaire 5.3.14. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles admettant des espérances mathématiques.Si X et Y sont indépendantes alors :Cov(X, Y ) = 0DémonstrationCela provient de l’application directe des théorèmes (5.3.8) et (5.3.13). ✷Théorème 5.3.15. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles admettant des espérances mathématiqueset des variances. Alors la variance de X + Y et la covariance de X et Y existent et on a la relation suivante :DémonstrationV ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y )✷V ar(X + Y ) = E[(X + Y − E(X + Y )) 2 ]= E[((X − E(X)) + (Y − E(Y ))) 2 ]= E[(X − E(X)) 2 ] + E[(Y − E(Y )) 2 ] + E[2(X − E(X))(Y − E(Y ))]= V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y )Corollaire 5.3.16. Sous les mêmes hypothèses que précédemment et si de plus les variables aléatoires sontindépendantes alors :V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )DémonstrationImmédiate ✷Remarque 5.3.17. Les résultat précédents se généralisent sans difficultés au cas d’un n-uplet de variables aléatoires :(i)V ar(n∑Y i ) =i=1(ii) Si les variables sont indépendantes deux à deuxV ar(n∑i=1V ar(Y i ) + 2 ∑ i