cours et TD - Enseeiht

24 CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVEy x xy y 2 x 21 y 1 x 1 x 1 y 1 y 2 1 x 2 1. . . . . .i y i x i x i y i yi 2 x 2 i. . . . . .n y n x n x n y n yn 2 x 2 n∑Totaux Y . X . i x iy i∑i y2 iMoyennes ȳ . ¯x .∑i x2 iTab. 2.5 – Calculs préliminairesx y xy x 2 y 21 25 1.8 45.0 625 3.242 25 2.3 57.5 625 5.293 25 2.0 50.0 625 4.004 25 2.4 60.0 625 5.765 25 2.0 50.0 625 4.006 25 2.5 62.5 625 6.257 25 2.6 65.0 625 6.768 35 2.6 91.0 1225 6.769 35 2.9 101.5 1225 8.41. . . . . .33 65 2.6 169.0 4225 6.76Totaux 1445 90.1 4103.5 69625 253.31Moyennes 43.79 2.73Tab. 2.6 – Calculs préliminaires sur l’exempleRemarque 4.5.5. Nous noterons r i le résidu d’indice i :On vérifie alors quer i = y i − ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x i ) = y i − ŷ i∑ ni=1 r i = ∑ ni=1 (y i − ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x i ))= ∑ ni= y i − ∑ n ˆβ i=1 0 − ∑ n ˆβ i=1 1 x i= nȳ − n ˆβ 0 − n¯x ˆβ 1 = 0De la même façon que nous avons cherché à “exprimer” y en fonction de x, on peut essayer d’“exprimer” x enfonction de y et nous obtenons ainsi la droite de régression d’équation :x = β 1xy y + β 0xyLes estimations sont alorsˆβ 1xy = SP Es 2 yetˆβ0xy = ¯x − ˆβ 1xy ȳExemple 4.5.6. Si nous reprenons les données de l’exemple (4.5.1) nous obtenons :ˆβ 1xy = 21.64 ˆβ0xy = −15, 29ˆβ 1yx = 0.025 ˆβ0yx = 1.64Définition 4.5.7 (Cœfficient de corrélation linéaire). On appelle cœfficient de corrélation linéaire le rapport de lacovariance sur les produits des écart-types :cov(x, y)r =s x s y