cours et TD - Enseeiht

6. EXERCICES 83✷V ar(Ȳ ) = ( 12) 22n 1 n 2N(N − 1) + 12 n 1(n 1 − 1)N(N − 1) − p2= n 1n 2 + 2n 1 (n 1 − 1) − 2p 2 N(N − 1)2N(N − 1)n 1N=(n 2 + 2n 1 − 2 − 2p(N − 1))2(N − 1)= p(n 2 − 2 + 2p)2(N − 1)p(N − 2)q=2(N − 1)(N − n) pq=N − 1 noù n = 2. On retrouve bien les résultats du théorème 4.1.16.2 Exercices avec indicationsExercice 6.2.1 (Taux de germination). On s’intéresse dans cet exercice au taux de germination, donc au paramètrep de la loi de Bernoulli de la variable aléatoireX : G −→ {0, 1}g ↦−→ 0 si g ne germe pasg ↦−→ 1 si g germe.(voir l’exemple 1.2.1)On considère un n-échantillon aléatoire Y = (Y 1 , . . . , Y n ) de X. L’échantillonnage est bien sûr sans remise (onne peut pas mettre à germer une graine deux fois !). On définit les statistiqueset M = (1/n)Y .S : R n −→ {0, 1, . . . , n}n∑y = (y 1 , . . . , y i ) ↦−→ S(y) =(i) Quelles sont les espaces de départ et d’arrivée de S(Y ) et de M(Y ).(ii) Écrire S(Y ) et Ȳ = M(Y ) en fonction des variables aléatoires (Y i) i(iii) On suppose que la taille de la population G est N, quelle est la loi de S(iv) On suppose que N = +∞, quelle est la loi de S.(v) On suppose que N = +∞ et qu’on peut approximer la loi de Ȳ par une loi normale N (µȲ , σ 2 Ȳ ).(a) Donner µ Ȳ et σ Ȳ en fonction de n et p.(b) Déterminer n en fonction de p pour avoiri=1P (µ Ȳ − 0.025 < Ȳ < µȲ + 0.025) = 0.95(c) On prend p = 0.5, calculer n. Que signifie ce résultat ?Indications. Penser à l’urne et l’échantillonnage avec et sans remise. Pour (vb), utiliser l’équation 4.4 ✷Exercice 6.2.2. Soit X : P −→ {0, 1} une variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètre p et Y = (Y 1 , . . . , Y n )un n-échantillon Bernoullien de X On considère la statistique S 2 suivanteS 2 : R n −→ {0, 1, . . . , n}y = (y 1 , . . . , y i ) ↦−→ S 2 (y) = 1 n∑(y i − ȳ) 2ni=1y i