cours et TD - Enseeiht

112 CHAPITRE 6. ESTIMATIONRemarque 2.1.2. La définition ci-dessus est valable que θ soit un réel ou un vecteur. Si l’on désire par exempleestimer les paramètres µ et σ pour une variable aléatoire de loi normale, on aura : θ = (θ 1 , θ 2 ) = (µ, σ) ∈ R 2 .Nous n’étudierons dans cette section que le cas où la variable aléatoire sera à valeurs dans R et où le paramètresera un réel.Définition 2.1.3 (Estimateur – Estimation ponctuelle). Soit (P e )un problème d’estimation. On appelle estimateurtoute variable aléatoire T (Y 1 , . . . , Y n ), où (Y 1 , . . . , Y n ) est un n-échantillon aléatoire, ayant pour but d’estimer leparamètre θ. On appelle valeur estimée ou estimation ponctuelle ou estimation par point ou encore estimation laquantité ˆθ = T (y 1 , . . . , y n ) obtenue à partir d’un n-échantillon (y 1 , . . . , y n ).Définition 2.1.4 (Estimation par intervalle – Intervalle de confiance). Soit (P e ) un problème d’estimation où θest réel. On appelle estimation par intervalle ou intervalle de confiance au niveau 1 − α tout intervalle [ˆθ 1 ; ˆθ 2 ] telque la probabilité que cette intervalle contienne la valeur du paramètre θ soit égale à 1 − α.Remarque 2.1.5. (i) L’avantage d’avoir un intervalle de confiance est que l’on a ainsi une idée de la précisionde l’estimation.(ii) Dire que l’intervalle recouvre la valeur du paramètre θ, c’est dire que θ est dans l’intervalle. Nous pouvonsdonc prendre comme définition d’un intervalle de confiance tout intervalle tel que :P (θ ∈ [ˆθ 1 ; ˆθ 2 ]) = 1 − α (6.1)Par abus de langage nous dirons que θ appartient à l’intervalle [ˆθ 1 ; ˆθ 2 ] au niveau 1−α. Il faut bien comprendreen effet que dans l’équation ci-dessus θ est une constante (c’est ce que l’on cherche à estimer). C’est l’intervallequi est ici aléatoire. Si l’on désire par exemple avoir un intervalle de confiance d’un taux de germination, nousréaliserons concrètrement l’expérience consistant à mettre à germer n graines. A partir des résultats de cetteexpérience, nous construirons l’intervalle de confiance du taux de germination (voir la sous section (3.3)) .Si nous réalisons une nouvelle fois cette expérience nous obtiendrons un nouvel intervalle de confiance. C’estdonc bien cet intervalle qui varie et non pas le taux de germination qui est ce qu’il est. Par conséquent écrireθ ∈ [ˆθ 1 ; ˆθ 2 ] au niveau 1−α n’est pas très rigoureux car θ, qui est une constante soit appartient à cet intervalle,soit est hors de cet intervalle ; il ne peut y être avec une probabilité de 1 − α. La bonne formulation seraitde dire que l’intervalle [ˆθ 1 ; ˆθ 2 ] recouvre la vraie valeur du paramètre θ avec la probabilié de (1 − α). Maisl’habitude veut que l’on emploie la première formulation.Nous allons maintenant voir les propriétés que doit posséder tout ”bon” estimateur.2.2 Propriétés des estimateursLa première chose que l’on demande à un estimateur est de ne pas faire d’erreur systématique, c’est-à-dire quel’estimateur donne ”en moyenne” la bonne valeur du paramètre recherché. C’est la notion d’estimateur sans biais.Définition 2.2.1 (Estimation sans biais). Soit (P e ) un problème d’estimation. Un estimateur T est dit sans biaissi et seulement si l’espérance mathématique de T est égale à la valeur du paramètre θ cherchée :E(T ) = θDéfinition 2.2.2 (Estimation asymptotiquement sans biais). Soit (P e ) un problème d’estimation. Un estimateurT n est dit asymptotiquement sans biais si et seulement si l’espérance mathématique de T n tend vers la valeur duparamètre θ cherchée quand n tend vers +∞ :E(T n ) −→ θn −→ +∞Exemple 2.2.3. Considérons le problème de l’estimation d’une variance σ 2 dans le cas où la variable aléatoiresuit une loi normale. Soit donc (Y 1 , . . . , Y n ) un n-échantillon aléatoire Bernoullien de la variable aléatoire X donton cherche à estimer la variance. Considérons l’estimateurT (Y 1 , . . . , Y n ) = 1 nNous avons alors vu au théorème (4.4.2.1) que l’on an∑(Y i − Ȳ )2 = S 2 (Y )i=1E(T ) = E(S 2 ) = n − 1nσ2