cours et TD - Enseeiht

5. EXERCICES 127(i) calculer(ii) Calculer l’intervalleẑ = f(ˆρ) = 1 ( ) 1 + ˆρ2 ln ;1 − ˆρ√ √11[ẑ − u 1−α/2n − 3 ; ẑ + u 1−α/2n − 3 ](iii) Calculer à l’aide de la transformation de Fisher inverse, c’est-à dire à f −1 , les limites de l’intervalle deconfiance de ρ.ApplicationDans une étude sur la dynamique des populations naturelles de la tenthrède du pin (Diprion frutetarum) deOliveira (1972) a observé la capacité de reproduction en fonction de différentes mesures du cocon et de l’insecteadulte. La capacité de reproduction a été évaluée par le nombre y d’oocytes (œufs) matures par cocon. Parmi lesmesures prises sur le cocon figure la longueur x en millimètres de ce dernier. Les données relatives à ces observationssont les suivantes :x y x y x y8.5 60 9.5 89 9.4 738.0 27 7.8 37 8.9 689.0 72 8.8 51 7.9 297.7 41 9.5 89 8.2 288.5 66 8.8 42 8.8 478.0 46 9.0 33 8.0 469.1 57 9.4 65 9.0 559.0 99 7.8 42 8.5 479.3 85 8.6 57 8.9 858.4 48 7.8 48 8.7 729.5 86 9.1 85 8.8 678.2 47 9.7 77 8.8 609.5 93 9.0 78 8.6 538.9 45 8.5 66 8.4 608.5 55 9.0 71 9.4 329.1 79 9.2 67 8.8 698.5 61 8.8 85 9.5 988.5 77 7.8 48 9.0 588.5 77 8.7 49 8.0 438.9 43 9.0 39 8.5 648.5 56 9.3 76 8.6 707.4 25 8.5 82 9.1 3310.0 56 9.8 48 8.8 57On donne :∑i x ∑i = 603.5mmi y i = 4139œufs∑i x2 i = ∑i 5299.11mm2 y2 i = ∑271681œufs2 i x iy i = 36576.4(i) Donner l’intervalle de confiance à 99% du coefficient de corrélation linéaire.Indications. On trouve ˆρ = 0.54 et l’intervalle de confiance à 99% est [0.28; 0.73]. ✷Exercice 5.2.2. Les montants de timbres ont été relevés sur un échantillon pris au hasard de 400 paquets traitéspar la poste d’une zone de distribution un jour donné. On suppose que la population des paquets est grande et quela loi de la variable aléatoire modélisant le prix est normale. On donne ȳ = 4.70 euros et SCE = 3080(i) Donner une estimation ponctuelle ˆσ de l’écart type de la variable aléatoire prix.(ii) Pouvez-vous donner l’intervalle de confiance à 90% de cet écart type. Pour ν > 100 on peut approximer uneloi du Khi-2 par (U+√ 2ν−1) 22où U suit une loi normale centrée réduite.(iii) Donner l’intervalle de confiance à 90 % de la moyenne µ de la variable aléatoire prix.(iv) Calculer l’intervalle [ȳ − ˆσ √ n; ȳ + ˆσ √ n]. Quel niveau de confiance est associé à cet intervalle ?