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46 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS4.4 Fonction d’une variable aléatoire réelle continueIl arrive souvent dans la pratique que l’on connaisse la distribution d’une variable aléatoire X mais que l’ons’intéresse plutôt à celle d’une fonction de cette variable aléatoire. En d’autres termes on connaît X mais on désireconnaître g(X).Exemple 4.4.1. Soit X une variable uniformément distribuée sur [0, 1]. On obtiendra la distribution de Y = X 2de la manière suivante :DoncF Y (y) = P (Y ≤ y) y ≥ 0= P (X 2 ≤ y)= P (X ≤ √ y)= F X ( √ y) = √ y si y ∈ [0, 1]f Y (y) = F ′ Y (y) =f Y (y) = 0 sinon12 √ si y ∈ [0, 1]yThéorème 4.4.2. Soit X une variable aléatoire réelle continue de densité f X et soit g une fonction strictementmonotone (croissante ou décroissante) et dérivable de R dans R. La densité de probabilité de la variable aléatoireY = g(X) est alors :f Y (y) ={fX (g −1 (y)) ddy g−1 (y) si il existe un x pour lequel y = g(x)0 si g(x) ≠ y pour tout xDémonstrationCela provient du théorème de changement de variable dans une intégrale. ✷Application 4.4.3. Soit X une variable aléatoire réelle de loi normale de paramètre µ et σ, c’est-à-dire que X apour fonction de densitéf(u) = √ 1 e −(x−µ)2 /(2σ 2 )2πσet soitalorsPar suiteg(x) = x − µσet Y = g(X)g(x) = y ⇐⇒ y = x − µσ⇐⇒ x = σy + µ = g −1 (y)f Y (y) = f X (σy + µ)σ = 1 √2πe −y2 /2et donc Y suit une lois normale réduite (i.e. de paramètres 0 et 1). Par conséquent nous avons :F X (a) ==∫ a−∞∫ a−µσ−∞f X (x)dx = P (X ≤ a)= P (σY + µ ≤ a)= F Y ( a − µσ )f Y (y)dy = P (Y ≤ a − µσ )En conclusion si on connaît la fonction de répartition de loi normale réduite on peut calculer la fonction derépartition de toutes les lois normales.