cours et TD - Enseeiht

124 CHAPITRE 6. ESTIMATIONParamètre p Valeur minimale de npour une approximationpar la loi normale0.5 300.4 500.3 800.2 2000.1 6000.05 14000.0 poissonIl ne s’agit ici que de résultats empiriques que nous utiliserons très souvent.correction.(i) On a ˆp = 40/100 = 0.4 etˆσ 2 p =Par suite l’intervalle de confiance de p estˆpˆq 0.4 × 0.6= = 2.4210 −3n − 1 99p ∈[ˆp − u 1−α/2ˆσ p − 1/2n; ˆp + u 1−α/2ˆσ p + 1/2n]au niveau 1 − αp ∈[0.4 − 1.96 √ 2.4210 −3 − 1/200; 0.4 + 1.96 √ 2.4210 −3 + 1/200] à 95%p ∈[0.298; 0.5015] à 95%(ii) On est ici dans la théorie de l’ échantillonnage, en effet on suppose que l’on connaît la valeur et p et on cherchen pour que l’estimation ˆp soit suffisamment proche de p, c’est-à-dire dans un intervalle [p − d; p + d] avec uneprobabilité de 0.97. L’estimateur est ici Ȳ et on sait que l’on peut supposer que cette variable aléatoire suitune loi normale N (p, pq/n). Par suite on aP( [ √ √ ])pqpqȲ ∈ p − u 1−α/2n ; p + u 1−α/2 = 1 − αnPar suite pour avoir P (Ȳ∈ [p − d; p + d]) = 0.97, il suffit de prendre α = 0.03 et√ pqd = u 1−α/2n( u1−α/2) 2⇔n =p(1 − p)davec ici u 1−α/2 = u 0.985 = 2.17. La fonction n(p) est donc une parabole concave (n ′′ (p) < 0) et le maximumsur [0; 1] est en 0.5 (unique point où n ′ (p) = 0). (voir la figure 6.11)12000100008000n60004000200000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1pFig. 6.11 – n en fonction de pPour p = 0.4 et d = 0.01 on trouve n ∼ 11301 et pour p = 0.4 et d = 0.05 on trouve n ∼ 452.(iii) (a) ˆp = 971/3238 = 0.299.