cours et TD - Enseeiht

6. EXERCICES 85(i) On définit la statistique U suivanteU : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y n ) ↦−→ U(y) = ȳ √ − 50 ,5/noù ȳ désigne toujours la moyenne arithmétique des (y i ).(a)(b)Écrire U(Y ) (espace de départ, espace d’arrivé et fonction).Écrire U(Y ) en fonction de Ȳ . En déduire la loi de U.(c) Calculeret donner son interprétation.P (Ȳ ∈ [50 − 1.96(√ 5/n); 50 + 1.96 √ 5/n])(ii) On suppose maintenant que la variance de X est inconnue. La loi de X est donc N (50, σ 2 ). On définit alorsles statistiques suivantesetSCE : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y n ) ↦−→ SCE(y) =T : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y n ) ↦−→ T (y) =n∑(y i − ȳ) 2i=1ȳ − 50√SCE(y)/(n(n − 1)).(a)Écrire T (Y ) (espace de départ, espace d’arrivé et fonction).(b) Écrire T (Y ) en fonction de Ȳ et de S2 . En déduire la loi de T .(c) On suppose que n = 10, donner l’unique réel t 0.975 vérifiant P (T < t 0.975 ) = 0.975 (voir les tablesstatistiques). En déduireP (Ȳ ∈ [50 − t 0.975( √ SCE(Y )/(n(n − 1))); 50 + t 0.975√SCE(Y )/(n(n − 1))])et donner son interprétation.