cours et TD - Enseeiht

42 CHAPITRE 3. PROBABILITÉSDéfinition 4.2.9 (Variable aléatoire discrète réelle). On appelle variable aléatoire discrète réelle (v.a.r.d.) toutevariable aléatoire discrète à valeur dans R.Notation 4.2.10. Lorsque X est une variable aléatoire réelle on note aussi :Par exemple dans l’exemple (4.2.7) on note aussiP X ({x}) = P (X = x) = P (X −1 (x))P X (] − ∞, x]) = P (X ≤ x) = P (X −1 (] − ∞, x]))P X ({1}) = P (X = 1) = 3/8 et P X ({0, 1, 2}) = P (X ≤ 2) = 7/8Remarque 4.2.11. On représente la loi de probabilité d’une variable discrète réelle par des diagrammes en bâtons.Variables aléatoires réelles continuesDéfinition 4.2.12 (Variable aléatoire réelle continue). Soit (Ω, E) un espace probabilisé et P une probabilité surcet espace. On appelle variable aléatoire réelle continue (v.a.r. continue) définie sur (Ω, E) toute application X deΩ dans R ayant les propriétés suivantes :(i) L’ensemble {ω ∈ Ω/X(ω) ∈ [a, b]} est un événement (i.e ; un élément de E) pour tout couple (a, b) de R 2 .(ii) Il existe une fonction f de R dans R telle queP (X ∈ [a, b]) = P (X −1 ([a, b])) = P X ([a, b]) =∫ baf(x)dxDéfinition 4.2.13 (Fonction de densité). On appelle fonction de densité d’une variable aléatoire réelle continueX toute fonction f permettant de définir la probabilité comme indiqué dans la définition ci-dessus.Remarque 4.2.14. Une fonction f est une fonction de densité si et seulement si :(i) f(x) ≥ 0 pour tout x.(ii) f est intégrable.(iii) ∫ +∞−∞ f(x)dx = 1Exemple 4.2.15. La durée de fonctionnement d’un ordinateur avant sa première panne est une variable aléatoirecontinue de densité donnée par :f : R −→ Rx ↦−→ λe −x/100 si x ≥ 0x ↦−→ 0 sinonQuelle est la probabilité que cette durée de fonctionnement soit comprise entre 50 et 150 heures ? Quelle est laprobabilité que l’ordinateur fonctionne moins de 100 heures ?∫ +∞−∞f(x)dx =∫ +∞0λe −x/100 dx = 100λDonc f est une fonction de densité si et seulement si λ = 1/100. Par suite :ConclusionP (X ∈ [50, 150]) =∫ 15050P (X ≤ 100) =1100 e−x/100 dx = e −1/2 − e −3/2 ≃ 0, 384∫ 1000f(x)dx = 1 − e −1 ≃ 0, 633Nous pouvons donc dire qu’une variable aléatoire c’est une fonction parfaitement connue qui permet detransposer une probabilité d’un espace probabilisé dans un autre. Une variable aléatoire, c’est comme leSaint Empire Romain : il n’était pas saint, ce n’était pas un empire et il n’était pas Romain 3 . Quant-à la loi d’unevariable aléatoire, c’est la probabilité qu’elle définit sur l’espace d’arrivée. C’est cette loi ou des paramêtre de cetteloi qui nous intéressera en pratique. Par abus de langage nous dirons que :3 Cette analogie vient de Donald E. Catlin ”Estimation, Control, and the Discrete Kalman Filter”, page 5, ed. Springer-Verlag 1989