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84 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE(i) On prend n = 2(a) Quels sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire S 2 (Y ) ?(b) Écrire S(Y ) en fonction de Y 1 et de Y 2 .(c) Donner la loi de S 2 (Y ).(d) Calculer l’espérance mathématique et la variance de S 2 (Y ).(e) les variables aléatoires Ȳ et S2 (Y ) sont-elles indépendantes ?(ii) On prend n = 3(a) Quels sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire S 2 (Y ) ?(b) Donner la loi de S 2 (Y ).(c) Calculer l’espérance mathématique et la variance de S 2 (Y ).Indications. Pour les espérances mathématiques et variances on doit trouver les mêmes résultats que dans lethéorème 4.2.1 ✷Exercice 6.2.3. Soit X : P −→ R une variable aléatoire de loi normale N (µ, σ 2 ) et Y = (Y 1 , . . . , Y n ) un n-échantillon Bernoullien de X On considère les statistiques suivantesS : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y i ) ↦−→ S(y) = 1 ∑nσ 2 (y i − µ) 2 ,i=1et K = SCE/σ 2 .✷(i) Quelle est la loi de S(Y ) ?(ii) Quelle est la loi de K(Y ) ?SCE : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y i ) ↦−→ SCE(y) = 1 ∑ nσ 2 (y i − ȳ) 2 ,(iii) On prend n = 10 et on note χ p l’unique réel vérifiant P (K ≤ χ p ) = p. En vous aidant de la table de la loi duχ 2 donner les valeurs de χ 0.025 et de χ 0.975 .(iv) Vérifier que P (χ 0.025 < K < χ 0.0975 ) = 0.95.(v) En déduire la valeur de(vi) Que signifie 4.13Pi=1( [ SCE(Y )σ 2 ∈ ; SCE(Y ) ]). (4.13)χ 0.0975 χ 0.0025Indications. On écrira S(Y ) comme le carré de n variables aléatoires de loi normale centrée réduite indépendantes.6.3 Exercices sans indicationsExercice 6.3.1. Soit X la variable aléatoire définie sur P, à valeurs dans {0, 1, 4} et de loiP (X = 0) = 1/4P (X = 1) = 1/2P (X = 4) = 1/4On considère Y = (Y 1 , Y 2 ) un 2-échantillon Bernoullien de X et Ȳ = (1/2)(Y 1 + Y 2 ).(i) Quelles sont les valeurs possibles de Ȳ ?(ii) Calculer la loi de Y .(iii) Calculer la loi de Ȳ .Exercice 6.3.2. Soit X la variable aléatoire rendement de loi normale N (50, 5) définie à l’exercice 6.1.2. SoitY = (Y 1 , . . . , Y n ) un n-échantillon Bernoullien de X (On suppose la population infinie et on peut donc considérerque l’échantillonnage avec remise se confond avec l’échantillonnage sans remise).