cours et TD - Enseeiht

2. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE 650.50.4avec remisesans remise0.30.20.10−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2k/n0.50.4avec remisesans remise0.30.20.10−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2k/nFig. 4.2 – Loi de0.5, N = 16)Ȳ pour l’échantillonnage sans remise et avec remise (n = 5, p = 1/3, N = 15 et n = 4, p =2.3 Exemple du référendumReprenons l’exemple 1.2.2. Notons N le nombre totale de suffrage exprimés et supposons que quelques instantsaprès la fermeture des bureaux de vote on ait connaissance du résultat sur n bulletins exprimés pris au hasard dansla population P. On s’intéresse alors à la variable aléatoire suivante :Ȳ : Ω −→ {0, 1/n, 2/n, . . . , n/n}b = (b 1 , b 2 , . . . , b n ) ↦−→ (le nombre de bulletin oui parmi les bulletins {b 1 , b 2 , . . . , b n })/n,oùΩ = {b = (b 1 , . . . , b n ) ∈ U|b i ≠ b jpour tout i ≠ j}.Nous sommes donc exactement dans le cas d’un échantillonnage sans remises car on a en pratique jamais dansun échantillon deux fois le même bulletin de vote. Nous avons donc comme précédemment pour nȲ une loi hypergéométriquesde paramètre N, n et p, et l’espérance mathématique et la variance de Ȳ ont pour valeursE(ȲN − n pq) = p et var(Ȳ ) =N − 1 n .Un premier problème est qu’en pratique N est inconnu. Fort heureusement n est très inférieur à N. Ceci a pourconséquence que l’on peut considérer le tirage sans remise comme un tirage avec remise (une règle empirique estn < (N/10)). On peut donc considérer ici que nȲ suit une loi binômiale de paramètres (n, p). On peut de plus icifaire une deuxième approximation. En effet, lorsque p n’est pas trop proche de 0 ou de 1, on peut approximer la loibinômiale par une loi normale. La table 4.2 donne une règle pratique pour que cette approximation soit correcte.