cours et TD - Enseeiht

6. EXERCICES 81(b) Donner la loi de Y .(c) Quelles sont les lois de Y 1 et Y 2 .(d) Écrire la variable aléatoire Ȳ .(e) Écrire Ȳ = M(Y ) (on précisera M).(f) Calculer, à partir de la loi de Y la loi de Ȳ .(g) Calculer, à partir de la loi de Ȳ l’espérance mathématique et la variance de Ȳ .(ii) On suppose l’échantillonnage sans remise(a) Quelles valeurs peut prendre Y .(b) Donner la loi de Y .(c) Quelles sont les lois de Y 1 et Y 2 .(d) Écrire Ȳ = M(Y ) (on précisera M).(e) Calculer, à partir de la loi de Y la loi de Ȳ .(f) Calculer, à partir de la loi de Ȳ l’espérance mathématique et la variance de Ȳ .correction.(i)(a) Le 2-échantillon aléatoire est défini parY = (Y 1 , Y 2 ) : U 2 −→ {0, 1} × {0, 1}b = (b 1 , b 2 ) ↦−→ Y (b) = (Y 1 (b), Y 2 (b))= (X(b 1 ), X(b 2 )).(b)Donc les valeurs possibles de Y sont (0, 0), (0, 1), (1, 0) et (1, 1).P (Y = (0, 0)) = P (Y 1 = 0 et Y 2 = 0)= P (Y 1 = 0)P (Y 2 = 0) = q 2 car Y 1 et Y 2 sont indépendantesP (Y = (0, 1)) = pqP (Y = (1, 0)) = qpP (Y = (1, 1)) = p 2(c) Les lois de Y 1 et de Y 2 sont identiques à celle de X. Ce sont donc des lois de Bernoulli de paramètres p.(d)Ȳ : U 2 −→ {0, 1/2, 1}b = (b 1 , b 2 ) ↦−→ Ȳ (b) = (1/2)(Y 1(b) + Y 2 (b))On peut écrire Ȳ = (1/2)(Y 1 + Y 2 ) ou encore Ȳ = M(Y ) avecM : R 2 −→ Ry = (y 1 , y 2 ) ↦−→ M(y) = (1/2)(y 1 + y 2 )(e) Remarquons tout d’abord que :– la loi de probabilité de Y est une probabilité sur son espace d’arrivé C Y = {0, 1} 2 ;– la loi de probabilité de Ȳ est une probabilité sur son espace d’arrivé CȲ = {0, 1/2, 1}.P CȲ (Ȳ = 0) = P C Y(Y = (0, 0)) = P CY (Y 1 = 0 et Y 2 = 0) = q 2P CȲ (Ȳ = 1/2) = P C Y(Y = (0, 1) ou Y = (1, 0)) = 2pqP CȲ (Ȳ = 1) = P C Y(Y = (1, 1)) = q 2