cours et TD - Enseeiht

68 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE3.2 Schéma généralDans toute cette section la variable aléatoire sera réelle.Définition 3.2.1 (Statistique). Soit X une variable aléatoire réelle définie sur une population P. Soit Y =(Y 1 , . . . , Y n ) un n-échantillon aléatoire. On appelle statistique toute variable aléatoire S de R n à valeurs dans R,la loi de probabilité sur R n étant la loi du n-vecteur aléatoire Y .Ω.Si S est une statistique alors S ◦ Y = S(Y ) est une variable aléatoire reélle définie sur l’espace d’échantillonnageExemple 3.2.2. Si nous reprenons l’exemple des tirages d’une urne (voir la sous section 2.2) ou d’un référendum(voir la sous section 2.3), la variable aléatoire M définie sur R n et à valeurs dans R est la fonction qui à n nombresréels (y 1 , . . . , y n ) associe leur moyenne M(y) = ȳ = (1/n) ∑ i y i est une statistique et M(Y ) = Ȳ .D’une façon générale nous avons donc le schéma 4.4X : P −→ R❄ÉchantilonnageY = (Y 1 , . . . , Y n ) : Ω −→ R nω = (ω 1 , . . . , ω n ) ↦−→ Y (ω) = (Y 1 (ω), . . . , Y n (ω))(X(ω 1 ), . . . , X(ω n ))❄Statistique SS ◦ Y = S(Y ) : Ω −→ Rω ↦−→ S(Y (ω))Fig. 4.4 – Schéma généralDéfinition 3.2.3 (Distribution déchantillonnage). On appelle distribution d’échantillonnage d’une statistique Sla loi de probabilité de la variable aléatoire S.Si on connaît la loi de probabilité du n-échantillon aléatoire Y , on peut espérer en déduire des caractéristiquescomme l’espérance mathématique ou la variance, voire la loi, de la statistique S pour certaines fonction S. Ceci estl’objet des sous-sections suivantes pour des fonctions qui interviennent souvent en statistique.4 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiques4.1 Distribution déchantillonnage de la moyenneOn considère dans cette sous section la statistiqueOn a doncet la loi de M est celle de Ȳ .M : R n −→ Ry = (y 1 , . . . , y n ) ↦−→ M(y) = ȳ = 1 nn∑y i .i=1M(Y ) = 1 n∑Y i =n Ȳ , (4.10)i=1