cours et TD - Enseeiht

118 CHAPITRE 6. ESTIMATIONqui estȳ − t 1−α/2√ˆσ2Nous avons le même type de résultat pour la deuxième borne de l’intervalle. D’où le résultat.✷Exemple 3.2.3. Reprenons les données de la table 4.1 où l’on s’intéressait à la longueur de la rectrice centralede la gélinotte huppée mâle, juvénile. Calculons l’intervalle de confiance de la moyenne. Nous supposons toujoursici que la loi de la vaviable aléatoire est normale. Nous avons obtenu à l’exemple 3.1.4 ȳ = 158.86 et ˆσ = 6.0979.Le nombre de données est n = 50, et donc ν = 49. Par suite nous avons t 0.975,ν=49 = 2.0096. Ce qui nous donnecomme intervalle de confiance à 95% :[µ ∈ 158.86 − 2.0096 × 6.0979 √ ; 158.86 − 2.0096 × 6.0979 ]√ = [157.13; 160.59] au niveau 0.9550 50Le théorème précédent nous donne les résultats théoriques lorsque la loi de la variable aléatoire X est normale,mais on sait, grâce au théorème limite central que Ȳ suit asymptotiquement une loi normale, c’est-à-dire que pourn grand, on peut approximer la loi de Ȳ par une loi normale. Il reste à savoir à partir de quand on est en droitd’utiliser cette approximation pour ensuite obtenir des intervalles de confiance de la moyenne. Plus la loi de départsera disymétrique, plus n devra être grand. La proposition suivante donne une règle couramment utilisée.Proposition 3.2.4. Soit P e un problème d’estimation où X est une variable aléatoire continue et θ = E(X) = µalors l’intervalle de confiance est :(i) si la variance σ 2 est connue et si n > 5]σ σµ ∈[ȳ − u 1−α/2 √n ; ȳ + u 1−α/2 √nnau niveau (1 − α)(ii) si la variance σ 2 n’est pas connue et si n > 30]ˆσ ˆσµ ∈[ȳ − u 1−α/2 √n ; ȳ + u 1−α/2 √nau niveau (1 − α)Définition 3.2.5 (Erreur standard). 4 On appelle erreur standard l’estimation ponctuelle de l’écart type de lamoyenne, c’est-à-dire la quantité :ˆσ/ √ nRemarque 3.2.6. On trouvera aussi comme terminologie erreur standard de la moyenne au lieu d’erreur standard.Nous pouvons utiliser maintenant les résultats précédents pour déterminer le nombre n de mesures nécessairesafin d’obtenir une estimation avec une précision voulue. Considérons par exemple le cas où la variable aléatoire Xsuit une loi normale, alors l’intervalle de confiance au niveau (1 − α) est donné par :]ˆσ ˆσµ ∈[ȳ − t 1−α/2 √n ; ȳ + t 1−α/2 √n au niveau (1 − α)Par suite si nous posonsd = t 1−α/2ˆσ √nnous avons alorsNous en déduisons l’équation suivanteµ ∈ [ȳ − d; ȳ + d] au niveau (1 − α)n −(t1−α/2ˆσd) 2= 0 (6.2)Par suite si nous connaissons la valeur du rapport ˆσ/d, nous pouvons en déduire la valeur de n. Attention n apparaîtdeux fois dans l’équation (6.2), il est en effet présent de façon implicite dans t 1−α/2 qui est en lien avec une loide Student à (n − 1) ddl. En pratique, pour avoir un ordre de grandeur de n on remplacera ce terme t 1−α/2 paru 1−α/2 .4 standard error en anglais