cours et TD - Enseeiht

128 CHAPITRE 6. ESTIMATION(v) Si on tirait 100 échantillons de 400 paquets indépendamment les uns des autres, et si on calculait pour chacund’eux l’intervalle de confiance à 90%, quelle proportion de ces 100 intervalles contenant effectivement la valeurinconnue de µ peut-on attendre ?(vi) Sur quelle population cette expérience permet-elle de conclure ?Indications.(i) ˆσ 2 = 7.72.(ii)(iii)σ 2 ∈ [6.9; 8.71] à 90%µ ∈ [4.47; 4.93] à 90%✷(iv) (1 − α) = 0.6826Exercice 5.2.3. Un économiste souhaite connaître la variabilité des revenus des habitants d’une ville donnée. Onsait, par des études antérieures, que l’on peut considérer la loi de la variable aléatoire ”revenus” est une loi lognormale. Il collecte pour son étude 100 données et obtient les estimations suivantes à partir de ces données :– ˆµ = 10000 ;– ˆσ 2 = 4000000.✷(i) Donner un intervalle de confiance à 99% de la moyenne.(ii) On désire, toujours avec un degré de confiance de 99%, une précision absolue pour l’intervalle de confianced = 100. Combien faut-il de données ?(iii) Pouvez-vous donner un intervalle de confiance à 90% de la variance ?(iv) Après avoir discuté avec l’économiste, on s’aperçoit que ces données on été obtenues en interrogeant lespersonnes dans la semaine et l’après-midi par téléphone. Quels problèmes cela pose-t-il ?Indications.(i) µ ∈ [99484.8; 100515.2] à 99%(ii) n ∼ 2654(iii) Pensez aux hypothèses.5.3 Exercices sans indicationsExercice 5.3.1. Geissler a observé dans 53680 familles ayant 8 enfants, 221023 garçons et 208417 filles.(i) Donner l’intervalle de confiance à 95% de la proportion de garçons dans la population.(ii) Commentaire.Exercice 5.3.2. 10 On a mesuré la quantité d’alcool total (mesurée en g/l) contenue dans 10 cidres doux dumarché. On suppose que la quantité d’alcool des cidres suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ. On aobtenu les valeurs suivantes :5.42, 5.55, 5.61, 5.93, 6.15, 6.20, 6.79, 7.07, 7.37.(i) Déterminer l’intervalle de confiance à 95% de la moyenne :(a) si l’on suppose que σ = 0.6g/l ;(b) si σ est inconnu.(ii) Déterminer un intervalle de confiance de σ 2 à 95%.Exercice 5.3.3. On a pesé 15 poulpes mâles pêchés au large des côtes mauritaniennes. On suppose que pour cetteespèce de poulpe, le poids suit une loi normale. On a obtenu les valeurs suivantes (en grammes) :1150, 1500, 1700, 1800, 1800, 1850, 2200, 2700, 2900, 3000, 3100, 3500, 3900, 4000, 5400(i) Donner l’intervalle de confiance de la moyenne à 95%. Donner l’amplitude de cet intervalle.10 www.cnam.fr/math/IMG/pdf/Fiche8.pdf