cours et TD - Enseeiht

5.ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE 51Remarque 5.1.9. Le n-ième moment de X par rapport à l’origine est l’espérance mathématique de la variablealéatoire Y = X n .Définition 5.1.10 (Moments centrés). Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle n-ième moment centré deX la quantité si elle existe E[(X − E(X)) n ](i) Si X est discrèteE[(X − E(X)) n ] = ∑ x(x − E(X)) n P (X = x)(ii) Si X est continue de densité fE[(X − E(X)) n ] =∫ +∞−∞(x − E(X)) n f(x)dxRemarque 5.1.11. Si l’on pose µ = E(X) alors le n-ième moment centré de X est l’espérance mathématique dela variable aléatoire Y = g(X) avecg : R −→ Rx ↦−→ (x − µ) nRemarque 5.1.12. Très souvent pour passer d’une variable discrète à une variable continue il suffit de changerune somme finie ∑ en une “somme infinie” ∫ .5.2 Espérance d’une somme de variables aléatoiresThéorème 5.2.1. Soit (Y 1 , Y 2 , . . . , Y n ) un n-uplet de variables aléatoires réelles qui possèdent des espérancesmathématiques alors S = ∑ ni=1 Y i possède une espérance mathématique et on a :E(S) =n∑E(Y i )Exemple 5.2.2. Soit (Y 1 , . . . , Y n ) un n-uplet de variables de loi de Bernoulli de paramètre p alors :5.3 Variance–CovarianceE(n∑Y i ) =i=1i=1n∑E(Y i ) =i=1n∑p = npDéfinition 5.3.1 (Variance d’une variable aléatoire réelle). Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle variancede X la quantité si elle existe :V ar(X) = E[(X − E(X)) 2 ]Remarque 5.3.2. La variance est en fait le moment centré d’ordre deux.Remarque 5.3.3. La variance est une mesure de l’écart moyen entre la variable aléatoire X et son espérancemathématique. Nous aurions pu prendre comme mesureE(|X − E(X)|), mais cette quantité est plus difficile à manipuler.La variance a la dimension du carré de la variable aléatoire aussi, pour avoir une grandeur de la dimension dela variable, on définit la quantité suivante.Définition 5.3.4 (Écart type). Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle écart type de X la quantité si elleexiste :σ(X) = √ V ar(X)Théorème 5.3.5. La variance d’une variable aléatoire réelle existe si et seulement si le moment d’ordre deux deX existe et on a la relation suivante :i=1V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2