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104 CHAPITRE 5. TESTS STATISTIQUES : PRINCIPES GÉNÉRAUX✷(i) Quelle est la loi de Ȳ ;(ii) Le test sera-t-il un test unilatéral ou bilatéral ?(iii) Calculer et visualiser l’erreur de première espèce ;(iv) Calculer et visualiser l’erreur de deuxième espèce et la puissance dans les cas où µ = 9.90 et µ = 10.10 ;(v) Tracer la forme générale de la fonction de puissance en fonction de µ ;(vi) Comment évolue cette fonction quand le nombre d’observations n augmente (le risque de première espècerestant le même).(i)(ii)Indications.(iii) α = 0.00288.(iv) β = 0.93 pour les deux valeurs de µ.6.3 Exercices sans indicationsExercice 6.3.1. 6Le poids de paquets de poudre de lessive, à l’issue de l’empactage, est une variable aléatoire réelle X :X : P −→ Run paquet ↦−→ son poidsOn suppose que X suit une loi normale N (µ, σ 2 ) avec σ = 5g. Le poids marqué sur les paquets est 700g. Ondésire savoir si la machine de remplissage est bien réglée. Nous allons donc réaliser un test statistique. En pratiqueon prélève 10 paquets de lessive et on mesure le poids moyen de ces 10 paquets de lessive. On suppose la populationdes paquets de lessive est très grande, on peut donc définir la variable aléatoire suivante :Ȳ : P 10 −→ R10 paquets de lessive ↦−→ le poids moyenEnfin on ne veut léser ni le client, ni l’entreprise. On suppose que la variance ne bouge pas.(i) Donner les hypothèses nulles et alternatives du test. On précisera si le test est unilatéral ou bilatéral.(ii) Quelle est la loi de Ȳ .(iii) On prend un risque de première espèce de 0, 05. On a obtenu sur un échantillon une valeur du poids moyenȳ = 710, quelle sera la conclusion ?(iv) Visualiser pour µ = 705 le risque de première espèce, de deuxième espèce et la puissance du test.(v) Calculer la puissance de ce test quand µ = 690; 695; 700; 705; 710. Tracer la forme de la courbe de puissanceen fonction de µ.(vi) On veut, pour µ = 705 une puissance de 0, 99. Donner l’équation que doit vérifier n : le nombre de paquetsde lessive qu’il faut prendre.Exercice 6.3.2. Le cahier des charge entre un semencier et un agriculteur stipule que le taux de contaminationdes semences ne doit pas dépasser 2%. Afin de s’assurer que cela est bien le cas le semencier décide de faire un teststatistique. Pour cela il prélève un lot de n semences provenant de l’agriculteur, effectue les tests biologiques surce lot et définit la procédure suivante :– Si dans le lot, il y a plus de 2% de semences contaminées alors on rejette la production ;– Si dans le lot, il y a moins de 2% de semences contaminées alors on accepte la production.6 Exercice construit à partir de l’exercice 10 du chapitre ”théorie des tests” de ”Statistique, exercices corrigés avec rappels de cours”,J-P Lecoutre, S. Legait-Maille et P. Passi.