cours et TD - Enseeiht

4. TEST BILATÉRAL 95µ 5.25 5.50 5.75 6.00 6.25 6.50 6.75 7.00 7.25 7.50 7.756.01 − µ3.04 2.04 1.04 0.04 -0.96 -1.96 -2.96 -3.96 -4.96 -5.96 -6.960.256.99 − µ6.96 5.96 4.96 3.96 2.96 1.96 0.96 -0.04 -1.04 -2.04 -3.04( 0.25 ) 6.01 − µφ1.00 0.98 0.85 0.52 0.17 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00( 0.25 ) 6.99 − µφ1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.98 0.83 0.48 0.15 0.02 0.000.25β(µ) 0.00 0.02 0.15 0.48 0.83 0.95 0.83 0.48 0.15 0.02 0.00P uis(µ) 1.00 0.98 0.85 0.52 0.17 0.05 0.17 0.52 0.85 0.98 1.00Tab. 5.3 – Risque β et puissance en fonction de la moyenne µ– Si Ȳobs = M(y 1 , . . . , y 64 ) /∈ [6.01; 6.99] alors on rejette l’hypothèse nulle d’égalité de la moyenne à 6.5 kg aurisque α de 5%Calculons maintenant la puissance de ce test en fonction de µ.Si H 1 est vraie alors Ȳ suit une loi normale N (µ, 0.0625)Nous avons donc :P uis(µ) = 1 − β(µ) = ⎛1 − P H1 (m 1 ≤ Ȳ ≤ m 2) ⎞= 1 − P H1⎝ m 1 − µ≤ Ȳ √− µ ≤ m 2 − µ⎠0.25σ 2 0.25( ) n( )m2 − µ m1 − µ= 1 − φ+ φ0.250.25Le tableau 5.3 et le graphique 5.5 donnent les résultats pour diférentes valeurs de µ1Exemple de puissance pour un test bilatéral0.90.80.7Puissance0.60.50.40.30.20.105 5.5 6 6.5 7 7.5 8muFig. 5.5 – Puissance d’un test bilatéral : exemple ”dindes” α = 0.05, n = 64.4.2 Puissance et paramètres α, σ 2 et nComme nous l’avons vu sur les deux exemples traités dans ce chapitre, la puissance dépend de la vraie valeurdu paramètre µ. Mais elle dépend aussi du risque de première espèce, de la variance et du nombre de mesures.Nous allons maintenant voir sur le deuxième exemple des ”dindes comment évolue cette puissance en fonction dechacun de ces trois paramètres (les 2 autres restant fixes).Puissance et risque de première espèceComme le montre le graphique (5.3) plus le risque de première espèce augmente, plus la zone d’acceptation del’hypothèse nulle diminue et donc plus le risque de deuxième espèce diminu. Par suite la puissance augmente. Legraphique (5.6) donne la puissance P uis(µ) pour différente valeur du risque de première espèce.