cours et TD - Enseeiht

40 CHAPITRE 3. PROBABILITÉSdonc P (A).P (B) ≠ P (A ∩ B) et les deux événements sont dépendants. Ici P (A/B) = 1/6 et P (A/ ¯B) = 4/30 . SoitC l’événement “la somme des dés est 7”. AlorsP (C) = P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = 1/6 et par suiteP (B ∩ C) = 1/36 = P (B).P (C). Ici B et C sont indépendants ; le fait de savoir que la somme est 7 ne donneaucun renseignement sur le score du premier dé. Par contre le fait de savoir que la somme est 6 implique que l’onne peut pas avoir un 6 pour le premier dé.Nous allons maintenant généraliser la notion d’indépendance à un nombre quelconque d’événements.Définition 3.2.4 (Indépendance de n événements). Soit (A i ) i=1,...,n n événements d’un espace probabilisé. Cesévénements sont dits indépendants si et seulement si pour tout sous-ensembles{A ′ 1, A ′ 2, . . . , A ′ r} de {A 1 , . . . , A n } r ≤ n on a :P (A ′ 1 ∩ A ′ 2 . . . ∩ A ′ r) = P (A ′ 1).P (A ′ 2) . . . P (A ′ r)Remarque 3.2.5. Des événements (A i ) i=1,...,n peuvent être indépendants deux à deux sans être indépendants.Considérons par exemple les 3 événements suivants de l’expérience aléatoire consistant à jeter deux pièces demonnaie non truquées :– L’événement A “la première pièce est Pile”– L’événement B “la deuxième pièce est Face”– L’événement C “les deux pièces sont sur le même côté”AlorsP (A ∩ B) = 1/2.1/2 = P (A).P (B)P (A ∩ C) = 1/2.1/2 = P (A).P (C)P (B ∩ C) = 1/2.1/2 = P (B).P (C)Les trois événements sont dont bien indépendants deux à deux. MaisP (A ∩ B ∩ C) = P (∅) = 0 ≠ P (A).P (B).P (C)par suite les trois événements ne sont pas indépendants. Ici le fait de savoir que la première pièce donne Pile etque la deuxième pièce donne Face implique que l’événement C ne peut pas être réalisé.4 Variables aléatoires4.1 IntroductionNous serons toujours amenés en pratique à travailler avec des variables aléatoires. Chaque mesure collectée seramise en relation avec une variable aléatoire. Ainsi les grandeurs auxquelles on s’intéressera seront en lien avec desfonctions définies sur un ensemble fondamental, c’est-à-dire avec des variables aléatoires. Ce qui nous intéressera, enpratique, sera la loi de probabilité sur l’espace d’arrivé. Nous donnons ci-après quelques exemples de formalisationpar des variables aléatoires où P désigne la population française :X 1 : P −→ {M, F }ω ↦−→ M si ω est un hommeω ↦−→ F si ω est une femmeX 2 : P −→ Rω ↦−→ Revenu de ωX 3 : P −→ {CSP 1 , CSP 2 , . . . , CSP n }ω ↦−→ la catégorie socioprofessionnelle de ωX 4 : P −→ Rω ↦−→ taille de ωX 5 : P −→ Nω ↦−→ nombre de yaourts mangés par ω pendant un anDans cette section nous étudierons tout d’abord le cas simple où la variable aléatoire ne pourra prendre qu’unnombre fini ou dénombrable de valeur différentes. Ensuite nous étudierons les variables aléatoires réelles continues,puis nous nous intéresserons à la notion de fonction de répartition d’une variable réelle. Le paragraphe suivant seraconsacré à l’étude succincte des fonctions de variables aléatoires réelles. Enfin nous terminerons cette section parune rapide étude des variables aléatoires vectorielles.