cours et TD - Enseeiht

5. EXERCICES 123L’estimation ponctuelle de la variance est doncˆσ 2 = SCEn − 1 = 0.5556 = 0.06948Et l’estimation ponctuelle de l’écart type est ˆσ = √ σ 2 = 0.2635.Remarque. Suivant la précision avec lesquels on fait les calculs intermédiaires on obtiendra des résultats plusou moins différents de ceux données ici. Nous n’insisterons pas sur ce point dans la mesure ou aujourd’huiles calculs sont fait sur l’ordinateur.(iii) La loi étant supposée normale on a pour intervalle de confiance de la variance[ SCEσ 2 ∈χ 2 ; SCE ]0.95 χ 2 à 90%0.05[ 0.5556σ 2 ∈15.507 ; 0.5556 ]à 90%2.733σ 2 ∈ [0.0358; 0.2033] à 90%(iv) La loi étant supposée normale on a comme intervalle de confiance pour la moyenne]ˆσ ˆσµ ∈[ȳ − t 1−α/2 √n ; ȳ + t 1−α/2 √nau niveau 1 − αIci α = 0.1 et ν = n − 1 = 8 donc t 1−α = 1.86 et[µ ∈ 1.0222 − 1.86 0.2635 ; 1.0222 + 1.86 0.2635 ]99µ ∈[0.8588; 1.1856] à 90%.à 90%.Pour α = 0.01, on a t 1−α/2 = 3.355 et on obtientµ ∈ [0.7275; 1.3169]Remarque.– On peut constater que plus le degré de confiance est grand, plus l’intervalle est grand ; ce qui est logique.✷Exercice 5.1.2. 7 Le ministère de la construction désire connaître le nombre de garages qu’il est souhaitables deconstruire avec une H.L.M., afin que les locataires puissent y ranger leur voiture.(i) Sur 100 ménages on en a trouvé 40 qui possédaient une voiture. Donner l’intervalle de confiance à 95% de laproportion des ménages qui possèdent une voiture. On supposera que l’approximation par la loi normale estcorrecte.(ii) On suppose connu la proportion p des ménages possédant une voiture. Exprimer n le nombre de ménagesen fonction de p et de d que l’on interroger pour être sûr à 97% que l’estimation ponctuelle soit dans unintervalle [p − d; p + d]. Pour d fixé quelle est la valeur de p la plus défavorable, c’est-à-dire celle qui donne lavaleur de n la plus grande. Calculer n pour d = 0.01; 0.05 et p = 0.04(iii) On interroge 3238 ménages. On trouve parmi eux 971 possesseurs de voitures.(a) Donner l’estimation ponctuelle de la proportion p.(b) Donner l’intervalle de confiance à 99% de la proportion p.Remarque 5.1.1. Nous avons maintes fois fait l’approximation d’une loi binômiale par une loi normale. L’intérêtde cette approximation est de permettre des calculs plus simple. Pour que cette approximation soit correcte il fautque n soit suffisamment grand et que p ne soit pas trop proche de 0 ou de 1. Dans le cas où le paramètre p esttrès proche de 0 la bonne approximation pour la loi binômiale est la loi de Poisson. Le tableau ci-dessous donne leslimites de l’approximation :7 Exercice n ◦ 81 du livre de C. Labrousse ”Statistique exercices corrigés avec rappels de cours”