cours et TD - Enseeiht

5. EXERCICES 129(ii) Si n désigne la taille d’un échantillon, donner l’amplitude de l’intervalle de confiance en fonction de n.(iii) On souhaite construire un intervalle de confiance de la moyenne à 95% d’une amplitude de 500g. Quelle tailled’échantillon faut-il ?Exercice 5.3.4. Cet exercice est difficile. 11Un commissaire aux Comptes contrôle un stock composé de N = 2000 références d’une valeur totale V inconnue.Les documents comptables fournissent une ”valeur totale d’inventaire” de 5447560 d’Euros. On définit les deuxvariables aléatoires suivantes :X : S −→ Run article ↦−→ sa valeur comptable d’inventaireY : S −→ Run article ↦−→ sa valeur réelleOn note µ X et µ Y les espérances mathématique des variables X et Y ; et σX 2 et σ2 Y les variances des variablesX et Y .(i) Les variables aléatoires X et Y sont-elles a priori indépendantes ? (On justifiera la réponse).(ii) Le commissaire fait tirer sans remise un échantillon de n = 160 références dans le stock afin d’estimer Vet ¯V (valeur comptable moyenne par référence). On obtient ȳ = 2705, 64 Euros et ˆσ y = 1527, 31 Euros. Onsuppose que l’on peut approximer la loi de Ȳ par une loi normale N (µ, (1 − n N )σ2 Yn ).(a) Donner un intervalle de confiance à 99% de µ Y .(b) Donner l’estimation ponctuelle de V et un intervalle de confiance à 99% de V .(c) Conclusion.(d) On veut une précision absolue, c’est-à-dire une demi longueur de l’intervalle de confiance, de 100 pourla moyenne µ Y . Donner le nombre d’articles qu’il faut prendre.(e) Quelle est la valeur de µ X ?(iii) On pose D = Y − X, Y d = µ X + D et Ȳd = µ X + ¯D(a) Calculer E(Ȳd) en fonction de µ Y .(b) On démontre que :V ar(Ȳd) =(1 − n ) V ar(Yd )N nOn suppose que Ȳd suit une loi normale. Dans l’échantillon on a trouvé : ¯d = 10.67 Euros et ˆσ D = 41.82Euros. Donner l’intervalle de confiance à 99% de µ Y .(c) Commentaires11 Exercice 7 de ”Exercices de sondages” A-M. Dussaix et J-M Grosbras