cours et TD - Enseeiht

3.PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE 390.4f(x)0.350.30.250.20.150.10.050−3 −2 −1 0 1 2 3xFig. 3.1 –3 Probabilités conditionnelles et indépendance3.1 Probabilités conditionnellesConsidérons pour illustrer notre propos l’expérience aléatoire qui consiste à jeter deux dés (l’un rouge et l’autrebleu). On suppose que chacun des 36 événements élémentaires sont équiprobables ; ils ont donc pour probabilitép = 1/36. Ω = {(i, j), i ∈ I et j ∈ J} où I = J = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (i, j) signifie que le dé rouge a donné i et le débleu a donné j.Supposons maintenant que l’on sache que le dé rouge a donné 3. Quelle est alors la probabilité que la sommedes deux dés soit 8 ?Pour calculer cette probabilité on peut raisonner de la façon suivante : nous ne pouvons en fait avoir que 6événements dans notre expérience : (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6). Aussi, sachant que le dé rouge est un 3,la probabilité (conditionnelle) de chacun des événements (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) est 1/6, alors que laprobabilité (conditionnelle) des 30 autres événements est nulle. Par conséquent la réponse à la question est 1/6.Si nous désignons par A l’événement “la somme des 2 dés est 8” et par B l’événement “le dé rouge est 3”, alorsla probabilité calculée précédemment s’appelle la probabilité conditionnelle que A apparaisse sachant que B estréalisée et elle est notée P (A/B).Définition 3.1.1 (Probabilité conditionnelle). Soit (Ω, E) un espace probabilisé et P une probabilité sur cet espace.Soit B un événement de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de l’événement A sachant queB est réalisée la quantité :P (A ∩ B)P (A/B) =P (B)3.2 Indépendance d’événementsDéfinition 3.2.1 (Indépendance–dépendance de deux événements). Deux événements sont dits indépendants sila réalisation de l’un d’entre eux ne modifie pas la réalisation de l’autre, en d’autres termes, si la réalisation de l’und’entre eux n’apporte aucune information au sujet de l’autre. Les événements A et B sont dits dépendants dans lecas contraire.Théorème 3.2.2. Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :P (A ∩ B) = P (A).P (B)DémonstrationSi P (B) = 0 alors P (A ∩ B) = 0 (car 0 ≤ P (A ∩ B) ≤ P (B) = 0) donc P (A ∩ B) = P (A).P (B)Si P (B) ≠ 0 alors P (A ∩ B) = P (B).P (A/B) or A et B sont indépendants si et seulement si la réalisation de A nedonne pas d’information sur B donc si et seulement si P (A/B) = P (A) Par suite P (A ∩ B) = P (A).P (B) ✷Exemple 3.2.3. On jette deux dés. Soit A l’événement “la somme des dés est 6” et B l’événement “le premier déest un 4”. Alors P (A ∩ B) = P ({(4, 2)}) = 1/36. MaisP (A) = P ({(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}) = 5/36etP (B) = P ({(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}) = 1/6