cours et TD - Enseeiht

82 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE(f)(ii)E(Ȳ ) = 0q2 + (1/2)2pq + 1p 2 = p(p + q) = pV ar(Ȳ ) = E(Ȳ 2 ) − E(Ȳ )2 = 0 2 q 2 + (1/2) 2 2pq + 1 2 p 2 − p 2 = pq2On retrouve bien pour 2Ȳ la loi binômiale et les valeurs de E(Ȳ ) et de V ar(Ȳ ) pour un tirage avecremise.(a) idem cas avec remise.(b)P (Y = (0, 0)) = n 2 n 2 − 1N N − 1P (Y = (0, 1)) = n 2 n 1N N − 1P (Y = (1, 0)) = n 1NP (Y = (1, 1)) = n 1Nn 2N − 1n 1 − 1N − 1(c)(d)P (Y 1 = 1) = P (Y = (1, 0) ou Y = (1, 1))= n 1n 2 + n 1 (n 1 − 1)N(N − 1)= n 1N = pP (Y 1 = 0) = 1 − P (Y 1 = 1) = 1 − pDonc Y 1 suit la même loi de Bernoulli que XIdem pour Y 2 .Ȳ : Ω −→ {0, 1/2, 1}= n 1(n 1 + n 2 − 1)N(N − 1)b = (b 1 , b 2 ) ↦−→ Ȳ (b) = (1/2)(Y 1(b) + Y 2 (b))avec Ω = {b = b 1 , b 2 ) ∈ U 2 |b 1 ≠ b 2 }. On peut écrire Ȳ = (1/2)(Y 1 + Y 2 ) ou encore Ȳ = M(Y ) avecM : R 2 −→ Ry = (y 1 , y 2 ) ↦−→ M(y) = (1/2)(y 1 + y 2 )(e)(f)P (Ȳ = 0) = P (Y = (0, 0)) = n 2(n 2 − 1)N(N − 1)P (Ȳ = 1/2) 2n 1 n 2N(N − 1)P (Ȳ = 1) = n 1(n 1 − 1)N(N − 1)E(Ȳ ) = 1 2n 1 n 22 N(N − 1) + 1n 1(n 1 − 1)N(N − 1)= n 1(n 1 + n 2 − 1)= pN(N − 1)