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72 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE4.3 Distribution d’échantillonnage de TDans les théorèmes précédents on a vu que si la variable aléatoire X suit une loi normale et si l’échantillon estBernoullien alors la variable aléatoireȲ − µσ √ nsuit une loi normale centrée réduite. L’approximation étant encore valable si X adment une espérance mathématiqueµ et une variance σ 2 finies et si n est grand (n ≥ 30 en pratique). Mais dans la réalité nous ne connaissons pas σet il est donc logique de ce demander ce qui ce passe si on renplace σ par√nn−1 S2 (Y ). C’est ce que nous allonsétudier maintenant.Théorème 4.3.1. Si (Y 1 , . . . , Y n ) est un échantillon Bernoullien et si X suit une loi normale de paramètre (µ, σ),alors la statistique :T = M − µ √S2suit une loi de Student à (n − 1) degrés de liberté.DémonstrationOn a :avecT =n − 1qU ,ZνU = M − µσ√ nde loi N (0, 1),Z = nS2σ 2 de loi χ 2 ν=n−1degrés de liberté,et U et Z indépendantes. Par suite T suit une loi de Student à n − 1 degrés de liberté.4.4 Distribution d’échantillonnage du rapport de varianceNous allons maintenant nous intéresser à la distribution d’échantillonnage du rapport de variance.Théorème 4.4.1. On considère deux caractères X 1 et X 2 de loi normale respectivement N (µ 1 , σ1) 2 et N (µ 2 , σ2).2Soient deux échantillons Bernoullien indépendants (Y 11 , . . . , Y 1n1 ) et (Y 21 , . . . , Y 2n2 ). Si S1 2 (respectivement S2) 2 estla statistique S1(y) 2 = 1 ∑ n1n 1 i=1 (y 1i − ȳ 1 ) 2 (respectivement S2(y) 2 = 1 ∑ n2n 2 i=1 (y 2i − ȳ 2 ) 2 ) alors la statistique :F =n 1 S 2 1(n 1 − 1)σ 2 1n 2 S 2 2(n 2 − 1)σ 2 2suit une loi de Fischer-Snedecor à n 1 − 1 degrés de liberté au numérateur et à n 2 − 1 degrés de liberté audénominateur.DémonstrationD’après le théorème (4.2.1) n 1 S2 1σ12 (respectivement n 2 S2 2σ22 ) suit une loi du χ 2 à n 1 −1 (respectivement n 2 −1) degrés de liberté et les hypothèses duthéorème impliquent que ces variables aléatoires sont indépendantes. On en déduit alors immédiatement le résultat en considérant la définitiond’une loi de Fisher-Snedecor. ✷La figure 4.6 donne une illustration, via la simulation d’une loi de Fisher à ν 1 = 5 ddl au nuérateur et ν 2 = 3ddl au dénominateur.4.5 Distribution d’échantillonnage d’une fréquenceNous allons terminer cette section en rappelant la distribution d’échantillonnage d’une proportion.Théorème 4.5.1. Soit X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p et soit (Y 1 , . . . , Y n ) un n-échantillonaléatoire. Posons S(y) = ∑ ni=1 y i et M(y) = 1 n∑ ni=1 y i, alors :(i) si l’échantillon est avec remise ou si la population est infinieS suit une loi binômiale de paramètre (n, p) et :✷E(S) = npV ar(S) = npqE(Ȳ ) = pV ar(Ȳ ) = pqn