cours et TD - Enseeiht

78 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGE6 Exercices6.1 Exercices avec corrigésExercice 6.1.1 (Loi normale centrée réduite). L’objectif de cet exercice est le calcul de probabilités dans le casd’une variable aléatoire U de loi normale centrée réduite N (0, 1) en utilisant la table de cette loi.(i) Calculer P (1 ≤ U ≤ 2, 5).(ii) On note φ(u) = P (U ≤ u) = ∫ uf(x)dx la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.−∞Démontrer que φ(−u) = 1 − φ(u). On utilisera le fait que la fonction de densité f(x) = (1/ √ 2π)e −x2 estpaire, c’est-à-dire que f(−x) = f(x) pour tout x.(iii) Calculer P (U ≤ −1).(iv) Calculer P (U ∈ [−1, 2[).(v) Encadrer P (U ≥ 6).(vi) On note u p = φ −1 (p) le réel défini par(i)P (U ≤ u p ) = pDonner u 0.999 . On cherchera cette valeur dans la table de la loi normale centrée réduite et dans la table deStudent.correction.Voir la figure 4.7P (1 ≤ U ≤ 2.5) =∫ 2.51f(x)dx = φ(2.5) − φ(1)= 0.9938 − 0.8413= 0.1525= A0.40.3f(x)0.20.1← A0−3 0 1 2.5 +3xFig. 4.7 – Visualisation de la probabilité(ii) Graphiquement (voir la figure 4.8) la parité de la fonction de densité f(x) donneA 1 = φ(−u) = P (U ≤ −u) = P (X > u) = A 2= 1 − P (X ≤ u)= 1 − φ(u)Montrons maintenant que A 1 = ∫ −u−∞ f(x)dx = A 2. Pour cela on fait le changement de variable y = −x dansl’intégrale. On obtient alors∫ u∫ +∞A 1 = − f(−y)dy = f(y)dy = A 2+∞u(iii) P (X ≤ −1) = φ(−1) = 1 − φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587(iv) P (X ∈ [−1, 2[) = φ(2) − φ(−1) = 0.97725 − 0.1587 = 0.81855