cours et TD - Enseeiht

106 CHAPITRE 5. TESTS STATISTIQUES : PRINCIPES GÉNÉRAUXParcellederudérales✻1 km❄Parcelleémettricede pollenOn prélève dans la parcelle ”rudérales” n graines et on réalise un test biologique sur ces graines pour savoir s’ily a eu transfert de gène. On définit la variable aléatoire suivante :X : G −→ {0, 1}1 graine ↦−→ 0 si la graine n’est pas transformée1 graine ↦−→ 1 si la graine est transforméeOn suppose que la population G est très grande et on note p la proportion dans G de graines transformées. Ondéfinit Y = (Y 1 , . . . , Y n ) le n-échantillon Bernoullien de X et on considère la statistiqueS(Y ) est alors la variable aléatoireS(Y ) : G n −→ RS : R n −→ Ry = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ↦−→ S(y) =g = (g 1 , g 2 , . . . , g n ) ↦−→ le nombre de graines transformées parmi les n graines(i) Quelle est la loi de la variable aléatoire X(ii) Quelle est la loi de la variable aléatoire S(Y )(iii)Écrire la variable S(Y ) comme somme de n variables aléatoires de loi de Bernoulli indépendantes.(iv) On considère le test suivant :– H 0 : il n’y a aucun transfert de gène ;– H 1 : il y a transfert de gène.avec la règle de décision suivante :– Si S(y) = 0 alors on accepte l’hypothèse nulle ;– Si S(y) > 0 alors on rejette l’hypothèse nulle ;(a)Écrire les hypothèses nulle et alternative à l’aide du paramètre p du test.(b) Quel est le risque de première espèce α ?(c) Donner la puissance du test en fonction de n et p.n∑i=1y i