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66 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGEParamètre p Valeur minimale de npour une approximationpar la loi normale0.5 300.4 500.3 800.2 2000.1 6000.05 14000.0 poissonTab. 4.2 – Approximation d’une loi binômiale par une loi normaleDans le cas d’un référendum, nous sommes donc dans le cas favorable où l’on peut considérer que Ȳ suit une loiN (p, pq/n). Or on sait (voir l’exercice 6.1.2) que dans le cas d’une loi normale on aP (µ − 1, 96σ ≤ X ≤ µ + 1, 96σ) = 0.95 (4.4)Supposons maintenant que la proportion dans la population de oui soit exactement de 50%, nous avons alorsp = 0.5, et supposons que n = 100000. La formule 4.4 donne alors P (0.497 ≤ Ȳ ≤ 0.503) = 0.95 (µ = pet σ = √ pq/n). Ceci signifie concrètement que l’on a 95 chance sur 100 d’avoir une proportion de oui dansl’échantillon de taille n = 100000 compris entre 49.7% et 50.3%.Remarque 2.3.1.(i) Le soir du référendum, les estimations sont données dès la fermeture des bureaux de vote des grandes villes.Celles-ci sont obtenues à partir du dépouillement des résultats dans des communes tests qui ont fermées plus tôt. Nous ne sommesdonc pas en réalité dans le cas exposé ici où l’échantillon est supposé être pris totalement au hasard dans la population. Unedeuxième différence est qu’en pratique c’est le nombre total d’électeurs dans chaque commune test qui est fixé au départ, et non pasle nombre totale de suffrages exprimés dans ces communes tests. Les choses sont donc en fait beaucoup plus compliqués. Le lecteurintéressé pourra consulter les ouvrages suivants [1] et [6].(ii) Si n = 1000 l’intervalle obtenu exprimé en pourcentage est [46.9%; 53.1%]. Les sondages effectués actuellement portent sur deseffectifs inférieurs à 1000 personnes. Bien que les méthodes utilisées (principalement la méthode des quotas), soient plus fines quel’échantillonnage au hasard considéré ici, la précision obtenue, vue de plus les difficultés concernant la fiabilité des données et lenombre d’indécis déjà mentionnées, est plus proche de ±5%, voir plus ! À notre avis, les journalistes et commentateurs politiquesferaient mieux d’utiliser les temps d’antenne radio ou de télévision à parler du fond du débat, plutôt que des sondages qui n’apportentque peu d’informations.Les résultats obtenus sur cet exemple peuvent être schématisés par le schéma 4.3.X : P :−→ {0, 1} de loi B(p)p = proportion de oui dans la population P❄ÉchantilonnageY = (Y 1 , . . . , Y n ) : P n −→ {0, 1} n❄Statistique MȲ = M(Y ) : P n −→ RȲ : N (p, pq/n)Fig. 4.3 – Échantillonnage de la moyenne pour un référundumL’objet de la théorie de l’échantillonnage est d’étudier ce schéma et les propriétés des variables aléatoires M(Y )lorsque M est la moyenne ou une autre fonction.