cours et TD - Enseeiht

6. EXERCICES 790.40.3f(x)0.20.1A 1→ ← A 20−3 −u 0 u +3xFig. 4.8 – Visualisation Φ(−u) = 1 − φ(u)✷(v) P (X ≥ 6) = ∫ +∞6f(x)dx = 1 − φ(6). Or la fonction de répartition φ est strictement croissante de 0 vers 1.Par suite on aφ(3.99) < φ(6) < 1On en déduit1 − 1 < 1 − φ(6) < 1 − φ(3.99)0 < 1 − φ(6) < 1 − 0.99997 = 0.00003(vi) On a u 0.999 = 3.09.Remarque. La table de la loi normale centrée réduite donne la fonction de répartition φ(u p ) = p alors que ladernière ligne de la table de Student (degré de liberté égale à +∞) donne la fonction inverse de la fonctionde répartition φ −1 (p) = u p .Exercice 6.1.2 (Loi normale de paramètre µ et σ). L’objectif de cet exercice est le calcul de probabilités dans lecas d’une variable aléatoire X de loi normale N (µ, σ 2 ). On utilisera le fait que U = (X − µ)/σ suit alors une loinormale centrée réduite.Soit X la variable aléatoire réelle X représentant le rendement d’une céréale C. On suppose que X suit une loinormale de paramètres µ = 50q/ha et σ 2 = 5(q/ha) 2 (voir 1.2.6).(i) Formaliser cette variable aléatoire.(ii) Calculer P (X < 0). Commentaires(iii) Calculer P (48 ≤ X ≤ 50) et représenter graphiquement cette probabilité.(iv) Quelle signification a la quantité ci-dessus ?(v) Calculer P (µ − 1, 96σ ≤ X ≤ µ + 1, 96σ).correction.(i) voir l’exemple 1.2.6(ii)(iii)P (X < 0) = P( X − 50√5< 0 − 50 √5)= φ(−22.36) ∼ 0La vraie valeur de cette probabilité est 0 car il est impossible d’avoir un rendement négatif. Le calcul icidonne une valeur strictement positive, mais très faible. Le modèle considéré est donc rigoureusement faux.Cependant, l’erreur faite est tout-à-fait négligeable.( )48 − 50 50 − 50P (48 ≤ X ≤ 50) = P √ ≤ U ≤ √5 5(= φ(0) − φ −√ 2 ) ( ( )) 2= φ(0) − 1 − φ √55Voir la figure 4.9.= φ(0) − (1 − φ(0.89))= 0.5 − 1 + 0.8133= 0.3133