cours et TD - Enseeiht

56 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS0.250.20.150.10.0500 5 100.250.20.150.10.0500 5 100.250.20.150.10.0500 5 100.250.20.150.10.0500 5 10Fig. 3.4 – 500 données d’une loi uniforme sur [0,12]0.250.20.150.10.0500 5 100.250.20.150.10.0500 5 100.250.20.150.10.0500 5 100.250.20.150.10.0500 5 10Fig. 3.5 – ”Convergence” de l’histogramme vers la fonction de densité (n=100,500,1000,5000)Exemple 6.2.8. Lorsque les Y i sont des variables de Bernouilli de paramètre p, le théorème précédent nous donne :( )Y1 + · · · + Y n − npP √ ≤ β −→ φ(β)npqn −→ +∞Pour n “assez” grand ceci nous permet de calculer :(P α ≤ Y )1 + · · · + Y n − np√ ≤ β ≃ φ(β) − φ(α)npqLa valeur de n à partir de laquelle on peut confondre les deux quantités dépend de la valeur du paramètre p, maissi p est compris entre 0,1 et 0,9 alors on peut pratiquement faire l’approximation à partir de n = 30.Exemple 6.2.9. Soit X une variable aléatoire continue uniforme sur [0, 12]. On définit alors :etȲ n : Ω n −→ Rω = (ω 1 , . . . , ω n ) ↦−→ Ȳn(ω) = 1 n∑Y i (ω) = 1 nni=1n∑X(ω i )i=1Z n = Ȳn − µσ/ √ navec µ = E(X) = 2.5 et σ 2 = V ar(X) = 12alorsZ n −→ Z : N (0, 1)n −→ +∞