cours et TD - Enseeiht

6. EXERCICES 105Cette expérience se formalise de la façon suivante. On définit la population P des semences produites par l’agriculteuret la variable aléatoire X de loi de Bernoulli de paramètre p.X : P −→ {0, 1}1 semence ↦−→ 1 si la semence est contaminée1 semence ↦−→ 0 si la semence n’est pas contaminéeOn suppose que la population P est de très grande taille et on définitȲ : P n −→ R1 lot de semences de taille n ↦−→ (le nombre de semences contaminées dans le lot)/n(i) On suppose que l’on peut approximer la loi de Ȳ par une loi normale. Donner les paramètres de cette lois enfonction de p et n.(ii) On définit les deux test suivants :Test 1– H 0 : p = 0.02 ;– H 1 : p > 0.02.etTest 2– H 0 : p = 0.02 ;– H 1 : p < 0.02.(a) Donner pour ces deux tests le risque de première espèce et donner leur signification concrète.(b) On suppose que n = 1000. Calculer pour ces deux tests le risque de deuxième espèce pour p = 0.01; 0.02et 0.03.(iii) En fait le semencier veut avoir une forte probabilité de rejeter la production si le taux de contamination esteffectivement de 2% et l’agriculteur veut lui avoir une forte probabilité que sa production soit acceptée si letaux de contamination est de 1%. On étudie pour cela le test :– H 0 : p = 0.02 ;– H 1 : p = 0.01.(a) Donner la règle de décision pour avoir α = β.(b) Calculer n pour avoir α = β = 0.05.Exercice 6.3.3. Un semencier a mis au point une variété OGM d’une plante résistante à un herbicide. Il désiresavoir si, dans des conditions de culture normales il peut y avoir transfert du gène de résistance aux plantes rudéralesà une distance donnée (1 km par exemple). Il met en place sur le terrain l’expérimentation suivante :