cours et TD - Enseeiht

4. DISTRIBUTION D’ÉCHANTILLONNAGE DE CERTAINES STATISTIQUES 69Théorème 4.1.1. Supposons que le caractère X admettent une espérance mathématique µ et un écart-type σ finialors :(i) E(Ȳ ) = µ.(ii) Si l’échantillon est Bernoullien alorsV ar(Ȳ ) = σ2n .(iii) Si l’échantillon est sans remise et que la taille de la population est N alors :DémonstrationV ar(Ȳ ) = N − n σ 2N − 1 n .(i) La linéarité de l’espérance mathématique implique immédiatement :E(Ȳ ) = E(1n(ii) Les propriétés de la variance impliquent :)n∑Y i = 1 ni=1V ar(Ȳ ) = V ar (1nn∑E(Y i ) = 1 ni=1n∑µ = µ.i=1)n∑Y i = 1 nn 2 V ar( ∑Y i ).i=1De plus les (Y i ) i sont indépendants. Par suite nous avons :i=1V ar(Ȳ ) = 1 n 2n∑i=1V ar(Y i ) = σ2n .✷(iii) admiseThéorème 4.1.2. Si X suit une loi normale N (µ, σ 2 ) et si l’échantillon est Bernoullien alorsnormale N (µ, σ 2 /n).Ȳ suit une loiDémonstrationCela provient du théorème précédent et du fait qu’une somme de variables aléatoires de lois normales indépendantesest une variable aléatoire de loi normale. ✷Théorème 4.1.3. Soit X une variable aléatoire de moyenne µ et de variance σ 2 finie et soit (Y 1 , . . . , Y n ) unn-échantillon Bernoullien. Alors Ȳ suit asymptotiquement une loi normale.DémonstrationD’après le théorème centrale limite la loi de la variable aléatoireZ n = Y 1 + · · · + Y n − nµσ √ n= Ȳ − µσ √ nconverge lorsque n tend vers +∞ vers la loi normale réduite. Par suiteȲ = σ √ nZ n + µa asymptotiquement le même comportement qu’une loi N (µ, σ2n ). ✷Remarque 4.1.4. Le théorème précédent signifie concrètement que pour n grand (n ≥ 30 en pratique) on peutσ2approximer la loi de Ȳ par la loi normale N (µ,n ).