cours et TD - Enseeiht

22 CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE43.53Taux2.521.5120 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70AgesFig. 2.18 – Taux de cholestérol en fonction de l’âge12Cas (a)10Cas (b)1Cas (c)90.91080.8870.760.6y6y5y0.540.4430.3220.210.100 2 4 6x00 2 4 6x00 2 4 6xFig. 2.19 – Différentes formes de graphesSuivant les cas de la figure 2.19, nous pouvons penser aux modèles :Cas (a) y(x) = β 0 + β 1 x ;Cas (b) y(x) = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 ;Cas (c) pas de modèle.L’objet de la régression linéaire simple est l’étude du cas (a). L’un des buts de la régression linéaire simple estde prédire la ”meilleure” valeur de y connaissant x (si le modèle linéaire est bien évidemment correct). L’objectifde cette section est uniquement descriptif, aussi nous n’allons étudier que l’estimation ponctuelle des paramètres.Estimation des paramètresUne droite sera d’autant plus proche des points M i (x i , y i ) que les écarts entre ces points et la droite serontfaibles. L’un des critères les plus utilisés est le critère des moindres carrés qui est la somme des carrés des écartsr i = y i − ŷ i (cf figure (2.20)).Ici, les points (x i , y i ) i=1,...,n sont connus, la question est de trouver les valeurs des paramètres β 0 et β 1 quirendent la valeur du critère la plus faible possible. Nous sommes ainsi ramené au problème d’optimisation suivant :{ ∑ Min f(β) =1 n(P )2 i=1 r2 i = 1 2β ∈ R 2∑ ni=1 (y i − β 0 − β 1 x i ) 2En effet, plus f(β) sera proche de 0, plus les carrés des résidus, donc les résidus r i seront ”proches” de 0.