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54 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS6 Théorèmes limites6.1 IntroductionLes théorèmes limites constituent sans doute les résultats théoriques parmi les plus importants de la théoriedes probabilités. Ces théorèmes sont répartis en deux grandes classes : les lois des grands nombres d’une part,les théorèmes centraux limites d’autre part. Les lois des grands nombres énoncent des conditions sous lesquellesla moyenne d’une suite de variables aléatoires de même loi converge (dans un sens à définir) vers leur espérancemathématique commune, ceci implique notamment la convergence de la fréquence d’apparition d’un événement verssa probabilité. Les théorèmes centraux limites par contre déterminent sous quelles hypothèses la somme de variablesaléatoires converge (ici encore dans un sens à définir) vers la distribution normale ; ceci permet d’approximer lasomme d’un grand nombre de variables aléatoires à une loi normale et c’est ce type de théorème qui justifie defaçon théorique l’utilisation (parfois abusive) de la loi normale en statistique.Dans toute cette section nous considérerons des variables aléatoires réelles définies sur un même espace (Ω, E).6.2 Lois des grands nombresThéorème 6.2.1 (Loi faible des grands nombres). Soient Y 1 , Y 2 , . . . une suite de variables aléatoires indépendanteset identiquement distribuées, d’espérance mathématique commune finie (E(Y i ) = µ) et de variance commune finie(V ar(Y i ) = σ 2 ). Alors pour tout ε > 0 on a :(∣ )∣∣∣ Y 1 + Y 2 + · · · + Y nP− µn∣ > ε −→ 0n −→ +∞DémonstrationNous ne démontrerons le résultat que lorsque la variance (commune) des Y i σ 2 est finie.Commen∑ 1E(n Y i) = 1 n∑E(Y i ) = µneti=1V ar(n∑i=1i=1Y i ) = nσ2n 2= σ2nIl résulte de l’inégalité de Thebychev que(∣ )∣∣∣ Y 1 + Y 2 + · · · + Y n0 ≤ P− µn∣ > εOn en déduit immédiatement le résultat. ✷≤ σ2nε 2Remarque 6.2.2. La loi faible des grands nombres fut établie pour la première fois par Jacques Bernoulli pour lecas particulier où les variables sont de loi de Bernoulli. L’énoncé de ce théorème et la démonstration qu’il en donnefigurent dans son ouvrage :”Ars Conjectandi” publié en 1713 par son neveu Nicolas Bernoulli huit ans après samort. Il faut savoir qu’à cette époque on ne connaissait pas l’inégalité de Tchebychev, et Bernoulli dut développerune démonstration extrêmement ingénieuse pour établir ce résultat.Théorème 6.2.3 (Loi forte des grands nombres). Soient Y 1 , Y 2 , . . . une suite de variables aléatoires indépendanteset identiquement distribuées, d’espérance mathématique commune finie (E(Y i ) = µ) et de variance commune finie(V ar(Y i ) = σ 2 ). Alors on aDémonstrationAdmise. ✷((i.e. Plimn→+∞Y 1 + · · · + Y n−→ µnn −→ +∞)= µ = 1)Y 1 + · · · + Y nnRemarque 6.2.4. On a souvent, au début, du mal à saisir la différence entre la loi faible et la loi forte des grandsnombres. La loi faible assure que pour toute valeur de n suffisamment grande (Y 1 + · · · + Y n )/n est probablementtrès voisines de µ. Elle n’assure pas cependant que (Y 1 + · · · + Y n )/n devra rester dans un voisinage étroit de µ. Il