cours et TD - Enseeiht

126 CHAPITRE 6. ESTIMATION– α = 0.05.Nous pouvons maintenant exprimer n en fonction de d, N, p et α. On veut(ii) Application numériqued = u 1−α/2√ (1 − n N) pqn( ) 2 d(⇔= 1 − n ) pqu 1−α/2 N n = pqn − pqN⇔ pq ( ) dn = + pqu 1−α/2 NNpqu2 1−α/2=⇒n =Nd 2 + pqu 2 1−α/2d 0.005 0.003 0.001n 2967 8030 54702(iii) n = 10000 et ˆp = 230/10000 = 0.0230. L’intervalle de confiance est√ˆpˆqp ∈[p − u 1−α/2 (1 − f)n − 1 − 1√]2n ; p + u ˆpˆq1−α/2 (1 − f)n − 1 − 12nau niveau 1 − α. Pour le calcul on peut ici négliger le terme en 1/2n√p ∈[p − u 1−α/2 (1 − f) ˆpˆq√ ]n ; p + u 1−α/2 (1 − f) ˆpˆqn✷et on obtient comme intervalle de confiance sur le nombre d’abonnés[0.020N; 0.026N] = [4000; 5200] à 95%.5.2 Exercices avec indicationsExercice 5.2.1. 9Intervalle de confiance du coefficient de corrélation linéaireOn rappelle que le coefficient de corrélation linéaire d’un couple de variable aléatoire (X, Y ) est donné par :L’estimation ponctuelle est donnée par :ˆρ =ρ = cov(X, Y )σ(X)σ(Y )cov(x, y) SP E(x, y)= √s x s y SCE(x)SCE(y)Pour avoir un intervalle de confiance de ce coefficient de corrélation linéaire il faut que le couple de variable aléatoire(X, Y ) soit de loi normale de dimension 2. La distribution d’échantillonnage est toutefois complexe. cependant Fishera montré que la variable auxiliaire :Z = 1 ( ) 1 + R2 ln 1 − Robéissait à une loi très proche de d’une loi normale de paramètres :E(Z) = 1 ( ) 1 + ρ2 ln ; V ar(Z) = 11 − ρn − 3Aussi pour avoir un intervalle de confiance de ce coefficient de corrélation linéaire il faut :9 Exemple provenant du livre de Scherrer page 591 et suivantes