cours et TD - Enseeiht

4. DISTRIBUTION D’ÉCHANTILLONNAGE DE CERTAINES STATISTIQUES 71Or si X suit une loi normale de paramètres (µ, σ), (Y i −µ)σ suit une loi normale réduite et donc, puisque l’échantillon (Y 1, . . . , Y n) estBernoullien, S 1 suit une loi du χ 2 à n degrés de liberté. De plus S 2 suit aussi une loi du χ 2 à 1 degré de liberté et S 2 et S 2 sontindépendantes. Une propriété des lois du χ 2 permet alors de conclure. Une conséquence immédiate de ce résultat est alors queet donc queV ar( nS2 ) = 2(n − 1)σ2 V ar(S 2 ) =! 2 σ2 2(n − 1).n✷Pour illustrer la loi de nS 2 /σ 2 lorsque l’échantillonnage est Bernoullien à l’aide de la simulation, nous générons5000 échantillons de taille n = 6, y k1 , . . . , y k6 pour k = 1, . . . , 5000, provenant d’une loi normale N (6, 12). Pourchacun de ces 5000 échantillons nous calculons la quantités 2 k = nS2 (y k1 , . . . , y k6 )12∑ 6i=1=(y ki − ȳ k. ) 212Les 5000 valeurs s 2 k sont alors 5000 observations de la variable aléatoire nS2 (Y )/σ 2 . Nous effectuons une deuxièmesimulation de façon identique sauf que la loi de départ est une loi uniforme sur [0, 12]. La figure 4.5 montrent leshistogrammes pour chaque simulation de toutes les données génerées ainsi que des 5000 valeurs (s 2 1, . . . , s 2 5000).Nous avons rajouté sur ces graphiques les lois de départ pour les données et la loi du χ 2 à ν = n − 1 = 5 degrés deliberté pour les valeurs simulées. Nous pouvons observer que lorsque la loi de départ est normale, l’histogramme”colle” très bien à la fonction de densité de la loi du χ 2 à 5 ddl, ce qui n’est plus le cas lorsque la loi de départ estune loi uniforme.0.15Données: N(6,12)0.1Données: U([0,12])0.080.10.060.050.040.0200.20 5 10 15SCE/sigma²: Loi du Khi−2 à 5ddl00 5 10SCE/sigma²: Non loi du Khi−2 à 5ddl0.20.150.150.10.10.050.0500 5 1000 5 10Fig. 4.5 – Simulation loi du χ 2 à 5 ddl (5000 échantillons). Statistique : nS 2 /σ 2