cours et TD - Enseeiht

3. ÉCHANTILLONNAGE 67Remarque 2.3.2. Le soir du référendum, les instituts de sondages ont les résultats sur un échantillon de taille n.Leur objectif est alors d’en déduire de l’information sur le paramètre p. Ce problème d’estimation, qui sera traitéau chapitre sur l’estimation, est le processus ”inverse” de celui de l’échantillonnage vu ici. En effet la théorie del’échantillonnage part de la population pour étudier ce qui se passe sur l’ensemble de tous les échantillons de taillen alors que la théorie de l’estimation part d’un échantillon pour obtenir des informations sur la population.3 Échantillonnage3.1 ÉchantillonD’une façon générale, on considère une variable aléatoire X définie sur une population P à valeurs dans unensemble C qui modélise la variable que l’on désire étudier. On construit ensuite le vecteur aléatoire Y suivant :Y = (Y 1 , . . . , Y n ) : Ω −→ C nω = (ω 1 , . . . , ω n ) ↦−→ Y (ω) = (Y 1 (ω), . . . , Y n (ω)) (4.5)= (X(ω 1 ), . . . , X(ω n )),où Ω est l’espace déchantillonnage. Ω = P n si l’échantillonnage est avec remise etsi l’échantillonnage est sans remise.Ω = {ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ∈ P|ω i ≠ ω j pour tout i ≠ j}, (4.6)Définition 3.1.1 (Échantillon aléatoire). On appelle échantillon aléatoire de taille n ou n-échantillon aléatoire dela variable aléatoire X le vecteur aléatoire Y = (Y 1 , . . . , Y n ).Définition 3.1.2 (échantillon). On appelle échantillon de taile n ou n-échantillon, une réalisation ou une observation(y 1 , . . . , y n ) du n-échantillon aléatoire.Remarque 3.1.3. Un n-échantillon n’est pas autre chose que les données relatif à la variable étudiée.Remarque 3.1.4. (i) Comme nous l’avons déjà mentionné, les variables aléatoire (Y i ) i=1,n sont définies sur lemême espace Ω que le n-échantillon aléatoire Y . Nous pouvons donc parler de l’indépendance ou de la nonindépendance de ces variables aléatoires (Y i ) i .(ii) Les variables aléatoires (Y i ) i sont à valeurs dans le même ensemble que la variable aléatoire X et leurs loissont identiques à celle de X.(iii) Nous avons en fait la relation suivanteY i (ω) = X(ω i ), (4.7)où l’indice i est à gauche sur la vecteur aléatoire Y et à droite sur l’argument de la variable aléatoire X.Définition 3.1.5 (Échantillon aléatoire simple–Échantillon Bernoullien). On appelle échantillon aléatoire simpleou échantillon Bernoullien tout n-échantillon aléatoire d’une variable aléatoire X où les variables aléatoires (Y i ) isont indépendantes.Lorsque l’échantillonnage est avec remise, Y est donc un échantillon Bernoullien, ce qui n’est plus le cas sil’échantillonnage est sans remise. Cependant si la taille déchantillon n est très petite devant la taille de la populationN (en pratique si (n/N) < 0.1) alors on peut approximer l’échantillonnage sans remise par un échantillonnage avecremise. Dans ce cas des théorèmes de la théorie des probabilités nous permet, connaissant la loi de X, de déterminerla loi de Y .Théorème 3.1.6. Soit P une population et X une variable aléatoire (X : P → C) sur cette population. Soit(Y 1 , . . . , Y n ) un n-échantillon Bernoullien, alors les n variables aléatoires Y 1 , . . . , Y n ont pour loi la loi de X, sontindépendantes et Y = (Y 1 , . . . , Y n ) est une variable aléatoire à n dimensions :de loi :(i) Si X est discrète :P C n(Y = (y 1 , . . . , y n )) =Y : Ω −→ C nn∏P C (Y i = y i ) =i=1n∏P C (X = y i ). (4.8)(ii) Si X est continue de fonction de densité f(x), Y a pour densité :n∏g(y) = f(y i ) ; où y = (y 1 , . . . , y n ). (4.9)i=1i=1