Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Capítulo 5
O Programa P4
O programa P4 é um software usado no estudo de campos polinomiais planares (ver [DH]). O
programa desenha o retrato de fase tanto no Disco de Poincaré quanto no Disco de Poincaré-
Liapunov, ou ainda próximo de uma singularidade, dependendo da necessidade de cada usuário
do programa.
Primeiramente ele checa quando o campo de vetores tem um conjunto contínuo de singularidades
ou não, isto é, quando as duas componentes do polinômio do campo de vetores tem um
fator comum ou não. Se eles tem um fator comum, ele divide este campo de vetores por este
fator comum e estuda o novo campo de vetores. As vezes, o pacote computacional algébrico
usado não consegue encontrar este termo comum. Nestes casos o P4 trabalhará incorretamente.
Se o usuário sabe o fator comum (por intuição ou por um outro pacote computacional algébrico
tal como o Maple, Mathematica, Axion,...), ele pode evitar este problema dando este fator,
juntamente com o campo de vetores reduzido (isto é, o campo de vetores depois de dividido
pelo fator comum), para o P4.
Então, no que segue, seja {
com mdc(p, q) = 1.
ẋ = p(x, y)
ẏ = q(x, y)
Agora, o programa determinará as singularidades isoladas finitas. Isto pode ser feito por
métodos algébricos ou por métodos numéricos. Se o grau do campo de vetores é alto, determinar
estas singularidades pode levar muito tempo, nestes casos é melhor utilizar métodos numéricos.
Para cada singularidade (x 0 , y 0 ), o P4 determina o retrato de fase da seguinte maneira.
Primeiramente ele calcula a matriz jacobiana em cada singularidade, isto é,
JX(x 0 , y 0 ) =
(
∂p
(x ∂x 0, y 0 )
∂q
(x ∂x 0, y 0 )
∂p
(x )
∂y 0, y 0 )
∂q
(x ,
∂y 0, y 0 )
100